Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Энтропия идеального газа
- 28 апреля 2023
- 6 минут
- 3 538
В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.
Энтропия – это функция состояния системы (S)(S) с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным dS=δQTdS=δQT.
Параметр δQδQ обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, TT – это общая температура системы.
Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.
В чем состоит физический смысл энтропии
Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):
δQ=dU+pdVδQ=dU+pdV.
Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:
δQT=dUT+pdVT=cμVdTT+pdVTδQT=dUT+pdVT=cμVdTT+pdVT.
Здесь cμV=i2RcμV=i2R. С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него pTpT и получить:
pV=RT→pT=RVpV=RT→pT=RV.
Подставляем это в исходное выражение:
δQT=cмVdTT+RdVV=d(cмVlnT+RlnV)δQT=cмVdTT+RdVV=d(cмVlnT+RlnV).
Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его dSdS. С помощью одной из приведенных выше формул вычислим ∆SΔS в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:
dS=RdlnV→∫(2)(1)dS=R∫(2)(1)dlnV=S2-S1=RlnV2V1dS=RdlnV→∫(2)(1)dS=R∫(2)(1)dlnV=S2−S1=RlnV2V1.
Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой Г0=N!(N-n)!Г0=N!(N−n)! (Г0Г0 – общее количество микросостояний, NN – количество ячеек, в которые помещены частица системы, nn – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то n=NAn=NA. Выведем формулу объемов V1V1 и V2V2 из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:
Г01=N1!(N1-NA)!, Г02=N2!(N2-NA)!Г01=N1!(N1−NA)!, Г02=N2!(N2−NA)!.
Здесь N1=V1l3, N1=V2l3, l=10-10 мN1=V1l3, N1=V2l3, l=10−10 м.
Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших n, n!≈(N2N1)NA=(V2V1)NAn, n!≈(N2N1)NA=(V2V1)NA):
Г02Г01≈(N2N1)NA=(V2V1)NAГ02Г01≈(N2N1)NA=(V2V1)NA.
Берем логарифм от этого выражения и получаем:
lnV2V1=1NAlnГ02Г01lnV2V1=1NAlnГ02Г01.
Таким образом, S2-S1=RlnV2V1=RNAlnГ02Г01=klnГ02-klnГ01S2−S1=RlnV2V1=RNAlnГ02Г01=klnГ02−klnГ01.
Здесь параметр kk обозначает постоянную Больцмана.
Формула Больцмана
Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как S=klnГS=klnГ.
Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.
Энтропия является аддитивной величиной. При S=constS=const процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).
Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от V1V1 до V1V1. При этом температура системы в первом процессе равна T1T1, а во втором T2T2, причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.
Решение
Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления ∆SΔS при постоянной температуре.
∆S=∫(2)(1)δQT=1T∫(2)(1)δQΔS=∫(2)(1)δQT=1T∫(2)(1)δQ.
Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если V=constV=const, то работа идеального газа равна 00.
Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре dU=0dU=0:
δQ=pdVδQ=pdV.
Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:
pV=νRT→p=vRTVpV=νRT→p=vRTV.
Подставляем в исходную формулу и получаем:
∆S=1T∫(2)(1)нRTVdV=RTнT∫(2)(1)dVV=vRln(V2V1)ΔS=1T∫(2)(1)нRTVdV=RTнT∫(2)(1)dVV=vRln(V2V1)
Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.
Условие: на рисунке схематично обозначены обратимые процессы. Сопоставьте, какие количества теплоты будут поглощаться системой в ходе обеих процессов.
Решение
Данная задача решается на основе определения энтропии для обратимых процессов.
dS=δQTdS=δQT.
Выражаем показатель δQδQ из уравнения, выведенного ранее, и получаем:
δQ=TdSδQ=TdS.
Для определения объема подведенного к системе тепла нам нужно проинтегрировать выражение:
∆Q=∫S2S1TdSΔQ=∫S2S1TdS.
Теперь, используя геометрическое свойство интеграла (по площади) и рисунок, мы можем подытожить, что площадь, ограниченная кривой процесса, изоэнтропами, перпендикулярными SS, и осью SS, больше площади для процесса 22, значит, QI>QIIQI>QII.
Ответ: в первом процессе поглощается большее количество теплоты, чем в во втором.
Сохранить статью удобным способом