Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Энтропия идеального газа

Содержание:
  1. В чем состоит физический смысл энтропии
  2. Формула Больцмана

В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.

Определение 1

Энтропия – это функция состояния системы (S)(S) с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным dS=δQTdS=δQT.

Параметр δQδQ обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, TT – это общая температура системы.

Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.

В чем состоит физический смысл энтропии

Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):

δQ=dU+pdVδQ=dU+pdV.

Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:

δQT=dUT+pdVT=cμVdTT+pdVTδQT=dUT+pdVT=cμVdTT+pdVT.

Здесь cμV=i2RcμV=i2R. С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него pTpT и получить:

pV=RTpT=RVpV=RTpT=RV.

Подставляем это в исходное выражение:

δQT=cмVdTT+RdVV=d(cмVlnT+RlnV)δQT=cмVdTT+RdVV=d(cмVlnT+RlnV).

Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его dSdS. С помощью одной из приведенных выше формул вычислим SΔS в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:

dS=RdlnV(2)(1)dS=R(2)(1)dlnV=S2-S1=RlnV2V1dS=RdlnV(2)(1)dS=R(2)(1)dlnV=S2S1=RlnV2V1.

Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой Г0=N!(N-n)!Г0=N!(Nn)! (Г0Г0 – общее количество микросостояний, NN – количество ячеек, в которые помещены частица системы, nn – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то n=NAn=NA. Выведем формулу объемов V1V1 и V2V2 из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:

Г01=N1!(N1-NA)!, Г02=N2!(N2-NA)!Г01=N1!(N1NA)!, Г02=N2!(N2NA)!.

Здесь N1=V1l3, N1=V2l3, l=10-10 мN1=V1l3, N1=V2l3, l=1010 м.

Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших n, n!(N2N1)NA=(V2V1)NAn, n!(N2N1)NA=(V2V1)NA):

Г02Г01(N2N1)NA=(V2V1)NAГ02Г01(N2N1)NA=(V2V1)NA.

Берем логарифм от этого выражения и получаем:

lnV2V1=1NAlnГ02Г01lnV2V1=1NAlnГ02Г01.

Таким образом, S2-S1=RlnV2V1=RNAlnГ02Г01=klnГ02-klnГ01S2S1=RlnV2V1=RNAlnГ02Г01=klnГ02klnГ01.

Здесь параметр kk обозначает постоянную Больцмана.

Формула Больцмана

Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как S=klnГS=klnГ.

Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.

Энтропия является аддитивной величиной. При S=constS=const процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).

Пример 1

Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от V1V1 до V1V1. При этом температура системы в первом процессе равна T1T1, а во втором T2T2, причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.

Решение

Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления SΔS при постоянной температуре.

S=(2)(1)δQT=1T(2)(1)δQΔS=(2)(1)δQT=1T(2)(1)δQ.

Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если V=constV=const, то работа идеального газа равна 00.

Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре dU=0dU=0:

δQ=pdVδQ=pdV.

Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:

pV=νRTp=vRTVpV=νRTp=vRTV.

Подставляем в исходную формулу и получаем:

S=1T(2)(1)нRTVdV=RTнT(2)(1)dVV=vRln(V2V1)ΔS=1T(2)(1)нRTVdV=RTнT(2)(1)dVV=vRln(V2V1)

Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.

Пример 2

Условие: на рисунке схематично обозначены обратимые процессы. Сопоставьте, какие количества теплоты будут поглощаться системой в ходе обеих процессов.

Формула Больцмана

Решение

Данная задача решается на основе определения энтропии для обратимых процессов.

dS=δQTdS=δQT.

Выражаем показатель δQδQ из уравнения, выведенного ранее, и получаем:

δQ=TdSδQ=TdS.

Для определения объема подведенного к системе тепла нам нужно проинтегрировать выражение:

Q=S2S1TdSΔQ=S2S1TdS.

Теперь, используя геометрическое свойство интеграла (по площади) и рисунок, мы можем подытожить, что площадь, ограниченная кривой процесса, изоэнтропами, перпендикулярными SS, и осью SS, больше площади для процесса 22, значит, QI>QIIQI>QII.

Ответ: в первом процессе поглощается большее количество теплоты, чем в во втором.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по физике
  • Физика

    Механические волны акустические волны Продольные и поперечные волны Фронт волны луч Уравнение плоской волны Волновой вектор Вектор УмоваПойнтинга Принцип суперпозиции волн Когерентность волн Стоячие волны

    • Вид работы:

      Доклад

    • Выполнена:

      26 января 2024

    • Стоимость:

      800 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    физика в футболе

    • Вид работы:

      Школьный проект

    • Выполнена:

      24 января 2024

    • Стоимость:

      2 900 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Давление на дне океана

    • Вид работы:

      Доклад

    • Выполнена:

      20 января 2024

    • Стоимость:

      1 400 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Источники искусственного освещения

    • Вид работы:

      Реферат

    • Выполнена:

      20 января 2024

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    подробное решение задач

    • Вид работы:

      Решение задач

    • Выполнена:

      19 января 2024

    • Стоимость:

      1 200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Физика

    Организация и планирование эксперемента

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      19 января 2024

    • Стоимость:

      1 200 руб.

    Заказать такую же работу