Энтропия идеального газа

В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.

Определение 1

Энтропия – это функция состояния системы $(S)$ $(S)$ с дифференциалом в бесконечном обратимом процессе, равным $d S = \frac{δ Q}{T}$ $d S = \frac{δ Q}{T}$ .

Параметр $δ Q$ $δ Q$ обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, $T$ $T$ – это общая температура системы.

Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.

В чем состоит физический смысл энтропии

Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):

$δ Q = d U + p d V$ $δ Q = d U + p d V$ .

Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:

$\frac{δ Q}{T} = \frac{d U}{T} + \frac{p d V}{T} = c_{μ V} \frac{d T}{T} + \frac{p d V}{T}$ $\frac{δ Q}{T} = \frac{d U}{T} + \frac{p d V}{T} = c_{μ V} \frac{d T}{T} + \frac{p d V}{T}$ .

Здесь $c_{μ V} = \frac{i}{2} R$ $c_{μ V} = \frac{i}{2} R$ . С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него $\frac{p}{T}$ $\frac{p}{T}$ и получить:

$p V = R T \to \frac{p}{T} = \frac{R}{V}$ $p V = R T \to \frac{p}{T} = \frac{R}{V}$ .

Подставляем это в исходное выражение:

$\frac{δ Q}{T} = c_{м V} \frac{d T}{T} + \frac{R d V}{V} = d ({c_{м}}_{V} \ln T + R \ln V)$ $\frac{δ Q}{T} = c_{м V} \frac{d T}{T} + \frac{R d V}{V} = d ({c_{м}}_{V} \ln T + R \ln V)$ .

Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его $d S$ $d S$ . С помощью одной из приведенных выше формул вычислим $∆ S$ $∆ S$ в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:

$d S = R d \ln V \to \int_{(1)}^{(2)} d S = R \int_{(1)}^{(2)} d \ln V = S_{2} - S_{1} = R \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$ $d S = R d \ln V \to \int_{(1)}^{(2)} d S = R \int_{(1)}^{(2)} d \ln V = S_{2} - S_{1} = R \ln \frac{V_{2}}{V_{1}}$ .

Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой $Г_{0} = \frac{N!}{(N - n)!}$ $Г_{0} = \frac{N!}{(N - n)!}$ ( $Г_{0}$ $Г_{0}$ – общее количество микросостояний, $N$ $N$ – количество ячеек, в которые помещены частица системы, $n$ $n$ – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то $n = N_{A}$ $n = N_{A}$ . Выведем формулу объемов $V_{1}$ $V_{1}$ и $V_{2}$ $V_{2}$ из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:

$Г_{01} = \frac{N_{1}!}{(N_{1} - N_{A})!}, Г_{02} = \frac{N_{2}!}{(N_{2} - N_{A})!}$ $Г_{01} = \frac{N_{1}!}{(N_{1} - N_{A})!}, Г_{02} = \frac{N_{2}!}{(N_{2} - N_{A})!}$ .

Здесь $N_{1} = \frac{V_{1}}{l^{3}}, N_{1} = \frac{V_{2}}{l^{3}}, l = 10^{- 10} м$ $N_{1} = \frac{V_{1}}{l^{3}}, N_{1} = \frac{V_{2}}{l^{3}}, l = 10^{- 10} м$ .

Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших $n, n! \approx {(\frac{N_{2}}{N_{1}})}^{N_{A}} = {(\frac{V_{2}}{V_{1}})}^{N_{A}}$ $n, n! \approx {(\frac{N_{2}}{N_{1}})}^{N_{A}} = {(\frac{V_{2}}{V_{1}})}^{N_{A}}$ ):

$\frac{Г_{02}}{Г_{01}} \approx {(\frac{N_{2}}{N_{1}})}^{N_{A}} = {(\frac{V_{2}}{V_{1}})}^{N_{A}}$ $\frac{Г_{02}}{Г_{01}} \approx {(\frac{N_{2}}{N_{1}})}^{N_{A}} = {(\frac{V_{2}}{V_{1}})}^{N_{A}}$ .

Берем логарифм от этого выражения и получаем:

$\ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{1}{N_{A}} \ln \frac{Г_{02}}{Г_{01}}$ $\ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{1}{N_{A}} \ln \frac{Г_{02}}{Г_{01}}$ .

Таким образом, $S_{2} - S_{1} = R \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{R}{N_{A}} \ln \frac{Г_{02}}{Г_{01}} = k \ln Г_{02} - k \ln Г_{01}$ $S_{2} - S_{1} = R \ln \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{R}{N_{A}} \ln \frac{Г_{02}}{Г_{01}} = k \ln Г_{02} - k \ln Г_{01}$ .

Здесь параметр $k$ $k$ обозначает постоянную Больцмана.

Формула Больцмана

Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как $S = k \ln Г$ $S = k \ln Г$ .

Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.

Энтропия является аддитивной величиной. При $S = c o n s t$ $S = c o n s t$ процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).

Пример 1

Условие: есть идеальный газ, в котором происходит изотермическое расширение, при этом объем меняется от $V_{1}$ $V_{1}$ до $V_{1}$ $V_{1}$ . При этом температура системы в первом процессе равна $T_{1}$ $T_{1}$ , а во втором $T_{2}$ $T_{2}$ , причем вторая температура меньше, чем первая. Определите, как будет меняться значение энтропии.

Решение

Зная основное определение энтропии и обратимость процессов в идеальном газе, мы можем использовать формулу для вычисления $∆ S$ $∆ S$ при постоянной температуре.

$∆ S = \int_{(1)}^{(2)} \frac{δ Q}{T} = \frac{1}{T} \int_{(1)}^{(2)} δ Q$ $∆ S = \int_{(1)}^{(2)} \frac{δ Q}{T} = \frac{1}{T} \int_{(1)}^{(2)} δ Q$ .

Идеальный газ в физике – это понятие, подразумевающее, что мы можем пренебречь взаимодействием между его молекулами. Если $V = c o n s t$ $V = c o n s t$ , то работа идеального газа равна $0$ $0$ .

Обратимся к первому правилу термодинамики, зная, что при постоянной температуре $d U = 0$ $d U = 0$ :

$δ Q = p d V$ $δ Q = p d V$ .

Выражаем давление из уравнения Менделеева-Клайперона:

$p V = ν R T \to p = \frac{v R T}{V}$ $p V = ν R T \to p = \frac{v R T}{V}$ .

Подставляем в исходную формулу и получаем:

$∆ S = \frac{1}{T} \int_{(1)}^{(2)} \frac{н R T}{V} d V = \frac{R T_{н}}{T} \int_{(1)}^{(2)} \frac{d V}{V} = v R \ln (\frac{V_{2}}{V_{1}})$ $∆ S = \frac{1}{T} \int_{(1)}^{(2)} \frac{н R T}{V} d V = \frac{R T_{н}}{T} \int_{(1)}^{(2)} \frac{d V}{V} = v R \ln (\frac{V_{2}}{V_{1}})$

Ответ: поскольку не существует зависимости энтропии от температуры в изотермическом процессе, то в заданных условиях оба процесса будут иметь одинаковую энтропию.