Энтропия идеального газа

В этой статье мы расскажем, что такое энтропия идеального газа и в чем заключается ее физический смысл. Начнем с определения.

Параметр $\delta Q$ обозначает элементарное тепло, которое сообщается системе. Соответственно, $T$ – это общая температура системы.

Если у системы в обратимом процессе изменяется знак энтропии, то это говорит о смене направления обмена теплом. Основная формула дает нам возможность найти, на сколько изменилась величина энтропии. Важно подчеркнуть, что она будет верной только в том случае, если процесс будет обратим.

В чем состоит физический смысл энтропии

Свойства идеального газа таковы, что с их помощью удобно пояснять физический смысл энтропии. Допустим, у нас есть один моль некоторого газа, для которого мы можем записать первое правило термодинамики (в дифференциальной форме):

$\delta Q=dU+pdV$.

Выполним деление левой и правой части выражения на температуру. У нас получится, что:

$\frac{\delta Q}{T}=\frac{dU}{T}+\frac{pdV}{T}=c_{\mu V}\frac{dT}{T}+\frac{pdV}{T}$.

Здесь $c_{\mu V}=\frac{i}{2}R$. С помощью уравнения Менделеева-Клайперона мы можем выразить из него $\frac{p}{T}$ и получить:

$pV=RT\to \frac{p}{T}=\frac{R}{V}$.

Подставляем это в исходное выражение:

$\frac{\delta Q}{T}=c_{мV}\frac{dT}{T}+\frac{RdV}{V}=d\left({c_{м}}_V\ln T+R\ln V\right)$.

Правая часть уравнения у нас получилась полностью дифференциальной, значит, и слева тоже должен быть полный дифференциал. Назовем его $dS$. С помощью одной из приведенных выше формул вычислим $∆S$ в изотермическом процессе. Если температура остается постоянной, то и внутренняя энергия системы также остается прежней. Получаем следующее:

$dS=Rd\ln V\to {\int }_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}dS=R{\int }_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}d\ln V=S_2-S_1=R\ln \frac{V_2}{V_1}$.

Нам известно, что объем, занимаемый газом в равновесном состоянии, связан с количеством пространственных микросостояний частиц формулой ${Г}_0=\frac{N!}{\left(N-n\right)!}$ (${Г}_0$ – общее количество микросостояний, $N$ – количество ячеек, в которые помещены частица системы, $n$ – общее количество частиц). Поскольку исходный объем идеального газа равен одному молю, то $n=N_A$. Выведем формулу объемов $V_1$ и $V_2$ из выражения выше. Она будет иметь следующий вид:

${Г}_{01}=\frac{N_1!}{\left(N_1-N_A\right)!}, {Г}_{02}=\frac{N_2!}{\left(N_2-N_A\right)!}$.

Здесь $N_1=\frac{V_1}{l^3}, N_1=\frac{V_2}{l^3}, l={10}^{-10} м$.

Для дальнейших преобразований нам потребуется формула Стирлинга (для больших $n, n!\approx {\left(\frac{N_2}{N_1}\right)}^{N_A}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{N_A}$):

$\frac{{Г}_{02}}{{Г}_{01}}\approx {\left(\frac{N_2}{N_1}\right)}^{N_A}={\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{N_A}$.

Берем логарифм от этого выражения и получаем:

$\ln \frac{V_2}{V_1}=\frac{1}{N_A}\ln \frac{{Г}_{02}}{{Г}_{01}}$.

Таким образом, $S_2-S_1=R\ln \frac{V_2}{V_1}=\frac{R}{N_A}\ln \frac{{Г}_{02}}{{Г}_{01}}=k\ln {Г}_{02}-k\ln {Г}_{01}$.

Здесь параметр $k$ обозначает постоянную Больцмана.

Формула Больцмана

Сам вид формулы энтропии говорит нам о том, что она может быть определена через логарифм числа микросостояний, образующих макросостояние, рассматриваемое как $S=k\ln Г$.

Выведенное выше равенство называется формулой Больцмана. Она позволяет сделать вывод, что чем больше упорядоченность системы, тем меньше в ней микросостояний, с помощью которых достигается макросостояние. Поэтому энтропия является мерой упорядоченности системы. Максимальная энтропия достигается в состоянии упорядоченности.

Энтропия является аддитивной величиной. При $S=const$ процесс называется изоэнтропийным. Если система является физически однородной, то ее энтропия выражается как функция двух независимых параметров состояния (масса считается постоянной).