Формула Герона: площадь треугольника, когда известны только три стороны

Площадь треугольника, когда известны только три стороны

Представьте, что у вас есть треугольный участок земли. Вы обошли его по периметру, замерили рулеткой каждую сторону — и всё. Ни транспортира под рукой, ни возможности провести высоту через середину поля. Три числа: длины сторон. Как из них вычислить площадь?

Обычные школьные формулы тут пасуют. Классическое S = ½·a·h требует высоты, а её ещё надо построить и измерить. Формула через две стороны и синус угла — S = ½·b·c·sin α — просит угол, которого у нас тоже нет. Получается тупик: данных вроде бы достаточно (три стороны однозначно задают треугольник), а привычный инструмент не подходит. Именно для такой ситуации и придумали формулу Герона — она превращает три длины прямо в площадь, минуя все промежуточные величины.

Полупериметр — ключевая заготовка

Прежде чем записать саму формулу, введём одну удобную величину. Сложим все три стороны и разделим сумму пополам — получим полупериметр, его принято обозначать буквой p:

p = (a + b + c) / 2.

Сама формула

Теперь можно записать главное утверждение.

ФОРМУЛА ГЕРОНА. Если стороны треугольника равны a, b и c, а p — его полупериметр, то площадь равна

S = √(p·(p − a)·(p − b)·(p − c)).

Красота этой записи в том, что справа стоят только длины сторон — ничего лишнего. Подставили три числа, посчитали полупериметр, перемножили четыре множителя под корнем — и готово. Ни углов, ни высот.

Дальше разберёмся, почему это работает.

Откуда берётся формула: выводим шаг за шагом

Идея вывода простая: мы всё-таки найдём высоту треугольника, но выразим её через одни лишь стороны. А как только высота известна, площадь считается по знакомому правилу «половина основания на высоту». Главным инструментом послужит теорема Пифагора, которую мы применим дважды.

Готовим чертёж. Возьмём треугольник ABC и опустим высоту BH на сторону AC. Обозначим стороны так: AB = c, BC = a, AC = b. Высоту назовём h, а отрезок AH (от вершины A до основания высоты) — буквой x. Тогда вторая часть основания, HC, равна b − x. Высота разбила наш треугольник на два прямоугольных — вот с ними и поработаем.

Первое применение Пифагора. В прямоугольном треугольнике ABH катеты — это x и h, а гипотенуза — сторона c. Значит:

h² = c² − x².

Второе применение Пифагора. Теперь смотрим на треугольник CBH. Его катеты — h и HC = b − x, гипотенуза — сторона a. Отсюда:

h² = a² − (b − x)².

Приравниваем и находим x. Слева в обоих равенствах стоит одно и то же h², поэтому правые части равны между собой:

c² − x² = a² − (b − x)².

Раскроем скобку (b − x)² = b² − 2bx + x²:

c² − x² = a² − b² + 2bx − x².

Слагаемое −x² есть с обеих сторон, и оно сокращается. Остаётся линейное уравнение относительно x:

c² = a² − b² + 2bx.

Выражаем x:

x = (c² − a² + b²) / (2b).

Мы нашли, где именно основание высоты делит сторону b, — и всё это через одни стороны.

Возвращаемся к высоте. Подставим найденный x в первое равенство h² = c² − x²:

h² = c² − ((c² − a² + b²) / (2b))².

Приведём к общему знаменателю 4b²:

h² = (4b²c² − (c² − a² + b²)²) / (4b²).

Разбираем числитель. Наверху стоит разность квадратов вида M² − N², где M = 2bc, а N = c² − a² + b². По формуле M² − N² = (M − N)(M + N) числитель раскладывается на два множителя:

• первый: 2bc − (c² − a² + b²) = a² − (c − b)² — снова разность квадратов, дающая (a − c + b)(a + c − b);
• второй: 2bc + (c² − a² + b²) = (c + b)² − a² — тоже разность квадратов, дающая (c + b − a)(c + b + a).

Значит,

h² = (a − c + b)·(a + c − b)·(c + b − a)·(c + b + a) / (4b²).

Здесь и появляется полупериметр. Присмотримся к четырём скобкам в числителе. Полная сумма сторон a + b + c равна 2p. А каждую из остальных скобок легко переписать через p:

• a + b − c = 2p − 2c = 2(p − c);
• a + c − b = 2p − 2b = 2(p − b);
• b + c − a = 2p − 2a = 2(p − a).

Подставляем всё это:

h² = 2p · 2(p − c) · 2(p − b) · 2(p − a) / (4b²).

Четыре двойки в числителе дают множитель 16, а поделив на 4, получаем 4:

h² = 4·p·(p − a)·(p − b)·(p − c) / b².

Извлекаем корень:

h = (2/b)·√(p·(p − a)·(p − b)·(p − c)).

Последний шаг — площадь. Основанием служит сторона b, к ней и проведена высота h, поэтому:

S = ½·b·h = ½·b·(2/b)·√(p·(p − a)·(p − b)·(p − c)).

Множители ½, b и 2/b взаимно уничтожаются, и остаётся ровно то, что мы обещали:

S = √(p·(p − a)·(p − b)·(p − c)).

Формула доказана. Обратите внимание: полупериметр возник не искусственно — он естественно «вырос» из разложения на разности квадратов. Вот почему в окончательном виде фигурирует именно p.

Задача 1: треугольник со сторонами 3, 6 и 7

Условие. Стороны треугольника равны 3 см, 6 см и 7 см. Найдём его площадь.

Ни высоты, ни углов нам не дали — идеальный случай для формулы Герона.

Шаг 1. Полупериметр. Складываем стороны и делим пополам:

p = (3 + 6 + 7) / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Шаг 2. Разности. Вычитаем каждую сторону из полупериметра:

p − a = 8 − 3 = 5,
p − b = 8 − 6 = 2,
p − c = 8 − 7 = 1.

Шаг 3. Подставляем под корень:

S = √(8·5·2·1) = √80 = 4√5 см².

Ответ: 4√5 см² (примерно 8,9 см²).

Задача 2: площадь параллелограмма через два треугольника

Условие. У параллелограмма ABCD стороны равны 8 см и 5 см, а меньшая диагональ — 5 см. Нужно найти его площадь.

Шаг 1. Делим фигуру диагональю. Проведём диагональ BD. Она разрезает параллелограмм на два треугольника — ABD и BCD. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому эти треугольники равны между собой, а значит, и площади у них одинаковые. Достаточно найти площадь одного и удвоить:

S = 2·S(ABD).

Шаг 2. Собираем стороны треугольника ABD. В нём три стороны: AB = 5 см, AD = 8 см и диагональ BD = 5 см. Все три известны — снова работает Герон.

Шаг 3. Полупериметр треугольника:

p = (5 + 5 + 8) / 2 = 18 / 2 = 9 см.

Шаг 4. Разности и площадь одного треугольника:

p − 5 = 4, p − 5 = 4, p − 8 = 1.

S(ABD) = √(9·4·4·1) = √144 = 12 см².

Шаг 5. Удваиваем:

S = 2·12 = 24 см².

Ответ: 24 см².

Второй пример показывает главный приём работы с четырёхугольниками: разбейте фигуру диагональю на треугольники, и формула Герона снова окажется под рукой — ведь стороны и диагонали измерить куда проще, чем высоты.

Формула Герона решает задачу, перед которой бессильны обычные формулы площади: она находит площадь треугольника, когда известны только три стороны — без высот и углов. Вся конструкция строится вокруг полупериметра p = (a + b + c)/2, а сама площадь равна S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Вывод опирается на двойное применение теоремы Пифагора: сначала мы выражаем через стороны положение основания высоты, потом саму высоту, а после разложения на разности квадратов в записи естественно появляется полупериметр. На практике формула выручает не только с треугольниками — разбив многоугольник диагоналями на треугольные части, её легко применить и к более сложным фигурам.