Площадь квадрата и прямоугольника: как посчитать, сколько места занимает фигура

Площадь квадрата и прямоугольника

Вы решили выложить кухонный пол плиткой. Продавец спрашивает: сколько квадратных метров? И тут выясняется, что длины стен мало — нужно как-то выразить одним числом, сколько поверхности вам предстоит закрыть. Та же история с рулоном ткани для скатерти или с банкой краски, которой хватает «на столько-то квадратов стены». Во всех этих случаях речь идёт об одной величине — площади, то есть о том, сколько плоскости накрывает фигура.

Разберёмся, откуда берутся две главные формулы школьной геометрии — площадь квадрата и площадь прямоугольника, — и почему они выглядят именно так.

Почему меркой стал квадрат

Измерить что-либо — значит сравнить с эталоном. Длину меряют отрезком-единицей, вес — гирей. С площадью так же: нужен эталон, который покажет, сколько раз он укладывается в фигуре. Вопрос лишь в том, какую форму выбрать для этого эталона.

Попробуйте замостить пол кругами — между ними останутся пустые зазоры. С треугольниками сложнее считать. А вот квадрат со стороной, равной единице, ложится идеально: он плотно стыкуется с соседями, не оставляет щелей и не залезает друг на друга. Такими квадратиками можно без остатка выстелить любую прямоугольную область. Поэтому за единицу площади и приняли именно единичный квадрат — квадрат со стороной 1. Его площадь считают равной единице.

Площадь квадрата: считаем клетки

Начнём с самого наглядного. Возьмём квадрат со стороной в целое число единиц — скажем, 4. Расчертим его на единичные квадратики. Вдоль нижней стороны уместится 4 клетки, и таких рядов будет тоже 4 — по одному на каждую единицу высоты. Всего клеток 4 × 4 = 16, а значит, и площадь равна 16.

Отсюда напрашивается общее правило: если сторона равна a, то в фигуре a рядов по a клеток, и площадь равна произведению стороны на саму себя:

S = a².

Пока сторона выражается целым числом, всё прозрачно. Но что, если она дробная или вообще иррациональная? Клетки-то целиком уже не улягутся. Чтобы формула работала при любой стороне, её проверяют в трёх случаях — от простого к сложному.

Случай первый: сторона — дробь вида 1/n. Возьмём единичный квадрат и разрежем каждую его сторону на n равных частей. Весь квадрат распадётся на n² маленьких одинаковых квадратиков со стороной 1/n. Площадь большого равна единице, поэтому на каждый маленький приходится ровно 1/n². А это как раз и есть (1/n)² — то есть квадрат его стороны. Формула держится.

Случай второй: сторона — конечная десятичная дробь. Пусть у стороны n знаков после запятой. Умножим её на 10ⁿ — получим целое число. Значит, нашу сторону можно уложить из целого числа отрезочков длиной 1/10ⁿ, а сам квадрат — из маленьких квадратиков с такой стороной. Каждый из них по первому случаю имеет площадь (1/10ⁿ)². Сложив их и упростив, снова получаем ровно a². Никаких новых чудес — тот же результат.

Случай третий: сторона — бесконечная дробь. Здесь помогает зажать неизвестное с двух сторон. Обрежем бесконечную дробь на n-м знаке — получим приближение чуть меньше настоящей стороны. Добавив к нему 1/10ⁿ, получим приближение чуть больше. Настоящая площадь оказывается зажата между квадратами этих двух приближений. Чем больше знаков мы оставляем, тем теснее сжимается «вилка», а её границы неудержимо сходятся к a². Значит, и площади деться некуда — она равна a².

Итог один и тот же при любой стороне: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Площадь прямоугольника: достраиваем до большого квадрата

Теперь перейдём к прямоугольнику с разными сторонами a и b. Можно было бы снова считать клетки, но есть приём изящнее — он опирается на уже доказанную формулу для квадрата.

Идея такая: впишем наш прямоугольник в большой квадрат и посмотрим, из чего этот квадрат складывается. Возьмём квадрат со стороной (a + b). По только что доказанному его площадь равна:

(a + b)² = a² + 2ab + b².

А теперь разрежем этот большой квадрат по линиям, продолжающим стороны прямоугольника. Он распадётся на четыре части:

• маленький квадрат со стороной a — площадь a²;
• маленький квадрат со стороной b — площадь b²;
• два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b — как раз копии нашего.

По свойству сложения площадей всё это в сумме даёт площадь большого квадрата:

a² + b² + 2·S = a² + 2ab + b².

Квадраты a² и b² есть в обеих частях — вычеркнем их. Останется:

2·S = 2ab.

Делим пополам и получаем то, что искали:

S = ab.

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон. Мы не считали клетки заново — просто «собрали» большой квадрат из знакомых кусочков и убрали лишнее.

Три задачи для практики

Формулы обретают смысл, когда ими что-то решают. Разберём три ситуации — от простой к хитрой.

Задача 1. Находим сторону по площади.
Квадратная грядка занимает 49 м². Какой длины у неё сторона?

Здесь формулу S = a² читаем «наоборот». Раз a² = 49, то сторона — это корень из площади:

a = √49 = 7 м.

Ответ: сторона грядки 7 метров.

Задача 2. Площадь квадрата через диагональ.
Известна не сторона, а диагональ квадрата — она равна 10 см. Найдём площадь.

Диагональ разрезает квадрат на два прямоугольных треугольника с катетами a и a и гипотенузой 10. По теореме Пифагора:

a² + a² = 10²,
2a² = 100,
a² = 50.

Но a² — это и есть площадь квадрата! Отдельно вычислять сторону не нужно:

S = a² = 50 см².

Ответ: 50 см². Удобно, что искомая площадь «спряталась» прямо в уравнении.

Задача 3. Сколько плитки на пол.
Пол в прихожей — прямоугольник 2 м на 3 м. Плитка квадратная, со стороной 0,5 м. Сколько плиток уйдёт?

Сначала площадь пола:

S = 2 · 3 = 6 м².

Теперь площадь одной плитки:

0,5 · 0,5 = 0,25 м².

Делим одно на другое:

6 ÷ 0,25 = 24 плитки.

Ответ: понадобится 24 плитки (без учёта запаса на подрезку — на практике берут чуть больше).

Коротко о главном

Площадь показывает, сколько плоскости накрывает фигура, а меркой служит единичный квадрат — потому что им можно замостить область без зазоров и нахлёстов. Для квадрата со стороной a площадь равна квадрату стороны:

S = a².

Для прямоугольника со сторонами a и b — произведению соседних сторон:

S = ab.

Легко заметить, что первая формула — частный случай второй. У квадрата обе стороны одинаковы, то есть b = a, и произведение ab превращается в a·a = a². Так что по сути формула одна: площадь прямоугольной фигуры — это произведение её сторон, а квадрат просто самый симметричный её вариант.