Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции: одна идея на три фигуры

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции

Кровельщик заказывает металл для ската крыши. Скат — не прямоугольник: одна сторона длиннее другой, углы «завалены». Землемер размечает участок, у которого границы идут вкось. Дизайнер кроит косую вставку для платья. Во всех этих случаях нужно узнать площадь фигуры, которая не желает укладываться в удобную клетку. И вот что примечательно: три главные фигуры школьной геометрии — параллелограмм, треугольник и трапеция — считаются по формулам, которые на первый взгляд разные, а на деле выросли из одной мысли.

Эта мысль звучит так: умножь основание на высоту — а дальше, если надо, раздели пополам или усредни. Всё. Дальше мы увидим, как из этого единственного правила разворачиваются все три формулы, и почему наклон фигуры ничего не меняет.

Наклонённая фигура: почему «завал» не крадёт площадь

Начнём с наблюдения, которое ломает интуицию. Возьмите стопку одинаковых листов бумаги, лежащую ровным прямоугольным столбиком. Толкните её сбоку — стопка «поедет», превратившись в наклонённый параллелепипед. Листов не убавилось, каждый остался прежним, значит, и общая площадь бумаги та же. Но контур стал косым.

Отсюда важный вывод: площадь фигуры определяется не длиной наклонённой боковой стороны, а тем, насколько фигура высокая — то есть расстоянием между двумя параллельными краями, измеренным строго перпендикулярно. Это расстояние и называют высотой. Боковая сторона может тянуться сколь угодно косо, но пока высота и основание неизменны, площадь стоит на месте.

Параллелограмм: отрезали угол — получили прямоугольник

Параллелограмм — это наклонённый прямоугольник. Докажем, что и площадь у него считается почти так же, с помощью простого перекраивания.

Представьте параллелограмм со стороной-основанием a. С одного края у него торчит косой «клин» — прямоугольный треугольник. Отрежьте этот треугольник по высоте и перенесите к противоположному краю. Он войдёт туда без зазора, потому что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. То, что получилось, — обычный прямоугольник. Его основание всё та же a, а вторая сторона — это высота h параллелограмма.

Площадь при перекраивании не изменилась (мы же ничего не выбросили и не добавили), а площадь прямоугольника мы считать умеем. Значит:

S = a · h.

Основание умножаем на высоту, проведённую к нему, — вот и вся формула. Наклон боковых сторон не участвует, ровно как мы и предполагали.

Но бывает, что высоту не измеришь напрямую — зато известны две соседние стороны a и b и угол α между ними. Тогда высоту легко достать через синус. Опустите высоту из вершины: она станет катетом прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза — это сторона b. По определению синуса h = b · sin α. Подставляем в предыдущую формулу:

S = a · b · sin α.

Это не новая формула, а та же самая, просто высоту в ней заменили её выражением через угол. Удобно, когда даны стороны и угол, а не перпендикуляр.

Треугольник: ровно половина параллелограмма

Треугольник проще всего понять через уже разобранную фигуру. Возьмите любой треугольник и приставьте к нему точную копию, перевёрнутую «вверх ногами». Две одинаковые детали состыкуются в параллелограмм — с тем же основанием a и той же высотой h, что и у треугольника.

Раз два равных треугольника составляют целый параллелограмм, то на один треугольник приходится ровно половина его площади:

S = ½ · a · h.

Та же логика «основание на высоту», только с делением пополам, потому что треугольник — это половинка сложенной фигуры.

По той же причине, что и у параллелограмма, работает и «угловая» версия. Если известны две стороны a и b и угол α между ними, высоту снова выражаем через синус, и получаем:

S = ½ · a · b · sin α.

Из этой записи вытекает изящный частный случай — равносторонний треугольник. У него все стороны равны a, а каждый угол равен 60°. Подставим b = a и α = 60°. Поскольку sin 60° = √3 / 2, выходит:

S = ½ · a · a · (√3 / 2) = a²√3 / 4.

Красивая формула, где для площади хватает единственного числа — длины стороны. Ею удобно пользоваться всякий раз, когда встречается правильный треугольник.

Трапеция: разрезали диагональю на два треугольника

У трапеции параллельны только два основания — короткое a и длинное b, — а высота h по-прежнему меряется перпендикуляром между ними. Чтобы найти площадь, не будем ничего достраивать: наоборот, разрежем.

Проведите одну диагональ. Трапеция распадётся на два треугольника. Приглядимся к ним внимательно.

• Первый треугольник опирается на основание a. Его высота — это расстояние между основаниями трапеции, то есть та самая h. Площадь: ½ · a · h.
• Второй треугольник опирается на основание b. Его высота — снова h, ведь основания параллельны и расстояние между ними всюду одинаковое. Площадь: ½ · b · h.

Складываем две части — и по свойству сложения площадей получаем всю трапецию:

S = ½ · a · h + ½ · b · h = ½ · h · (a + b).

То есть:

S = ½ · (a + b) · h.

Прочитать эту формулу можно так: берём среднее двух оснований (a + b)/2 и умножаем на высоту. Трапеция ведёт себя как прямоугольник, у которого ширина — усреднённая между коротким и длинным краями. Вот откуда в нашем едином правиле взялось слово «усредни».

Две задачи из жизни

Задача 1. Косой участок земли.

Землемер разметил надел в форме параллелограмма. Одна из сторон вдоль дороги — 40 м, соседняя сторона уходит вбок под углом 30° к первой и равна 25 м. Сколько квадратных метров в наделе?

Высоту напрямую не мерили, зато есть две стороны и угол между ними — идеальный случай для «угловой» формулы:

S = a · b · sin α = 40 · 25 · sin 30°.

Синус 30° равен 0,5, поэтому:

S = 40 · 25 · 0,5 = 500 м².

Обратите внимание: если бы стороны стояли под прямым углом, площадь была бы 40 · 25 = 1000 м². Наклон «съел» ровно половину — синус честно это учёл.

Задача 2. Панель для ската крыши.

Скат крыши имеет форму трапеции: у конька (вверху) ширина 6 м, у карниза (внизу) — 10 м, а высота ската — 4 м. Сколько листового материала уйдёт на обшивку одного ската?

Здесь два параллельных основания и высота между ними — прямая работа для формулы трапеции:

S = ½ · (a + b) · h = ½ · (6 + 10) · 4.

Считаем по шагам:

S = ½ · 16 · 4 = ½ · 64 = 32 м².

На один скат понадобится 32 квадратных метра материала (на практике добавляют небольшой запас на подрезку и нахлёсты).

Коротко о главном

Все три формулы — это одно правило «основание × высота» с маленькой поправкой под форму фигуры. Параллелограмм берёт произведение целиком, треугольник — его половину, трапеция — среднее двух оснований. А если высота неизвестна, но дан угол, её всегда можно вытащить через синус. Соберём итог в таблицу.

Запомнив саму идею, а не шесть отдельных строчек, вы восстановите любую из этих формул по памяти — и даже сможете вывести её заново на клочке бумаги, просто перекроив фигуру в уме.