Параллельные прямые в пространстве: определение, теоремы и проверка через векторы

Параллельные прямые в пространстве

На плоскости всё просто: две прямые либо пересекаются, либо параллельны. Третьего не дано. Но стоит выйти в объём, и картина усложняется. У прямых в пространстве появляется третий вариант поведения — они могут не пересекаться и при этом вовсе не быть параллельными. Именно поэтому разговор о параллельности в трёх измерениях требует большей аккуратности, чем в плоском случае.

Ниже мы сначала разберёмся, почему объём меняет правила игры, затем аккуратно введём само понятие, соберём набор ключевых теорем, а в финале научимся проверять параллельность чисто вычислительно — через направляющие векторы.

Почему в объёме сложнее, чем на плоскости

Возьмите две прямые в пространстве и представьте все способы, как они могут располагаться друг относительно друга. Вариантов оказывается три, а не два.

Первый — прямые пересекаются, то есть имеют общую точку. Второй — они параллельны. А вот третий вариант в плоскости попросту невозможен: прямые могут не иметь общих точек и при этом не быть параллельными. Такие прямые называют скрещивающимися. Представьте линию потолка вдоль одной стены и линию пола вдоль соседней — они нигде не встретятся, но и параллельными их не назовёшь, ведь лежат они в разных, «перекошенных» друг относительно друга плоскостях.

Что считать параллельными прямыми

Теперь, когда ясно, от чего нужно отгородиться, определение читается естественно.

Две прямые в пространстве называют параллельными, если они одновременно удовлетворяют двум условиям: лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Ключевое здесь — связка «и». Одного лишь отсутствия пересечения мало, иначе под определение попали бы и скрещивающиеся прямые. Именно условие «в одной плоскости» отсекает лишнее и оставляет ровно то, что мы интуитивно и считаем параллельностью.

Примеров вокруг предостаточно: два рельса железнодорожного пути, противоположные края столешницы, соседние линии в разлинованной тетради, провода на опорах вдоль дороги. Во всех этих случаях линии тянутся рядом, не сближаясь и не расходясь, и всегда их можно накрыть одной общей плоскостью.

Теоремы, которые стоит держать под рукой

Вокруг понятия параллельности выстроено несколько утверждений. Они работают как инструменты: одни помогают доказать, что прямые параллельны, другие описывают, как параллельность «ведёт себя» в разных ситуациях.

Признак через перпендикулярность плоскости. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они обязательно параллельны между собой. Это удобный способ установить параллельность косвенно: не сравнивая прямые напрямую, а через их общее отношение к плоскости.

Единственность параллельной через точку. Возьмём прямую и точку, которая на ней не лежит. Тогда через эту точку можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Обоснование опирается на планиметрию: через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость, а уже внутри этой плоскости работает знакомая аксиома о единственной параллельной. Так объёмная задача сводится к плоской.

Транзитивность. Если каждая из двух прямых параллельна одной и той же третьей прямой, то они параллельны и друг другу. Свойство выглядит очевидным, но именно оно позволяет выстраивать цепочки рассуждений: доказав параллельность к общему «посреднику», мы бесплатно получаем параллельность исходных прямых.

Лемма о пересечении плоскости. Пусть две прямые параллельны, и одна из них протыкает некоторую плоскость. Тогда и вторая непременно пересечёт эту же плоскость. Проследим логику. Прямая b проходит через плоскость α в точке M. Две параллельные прямые a и b, по свойству выше, задают собственную плоскость β. Точка M принадлежит и α, и β, значит эти плоскости пересекаются по некоторой прямой c, проходящей через M. Все три прямые — a, b и c — лежат в одной плоскости β. Раз b параллельна a, а c пересекает b, то по планиметрической аксиоме c пересечёт и a — скажем, в точке K. Но точка K лежит одновременно на прямой a и в плоскости α, следовательно, прямая a действительно протыкает плоскость α. Что и требовалось.

Есть и ещё одно полезное следствие: любые две параллельные прямые однозначно определяют плоскость. На нём как раз и держится рассуждение в лемме выше.

Как проверить параллельность вычислением

Геометрические рассуждения хороши для доказательств, но когда прямые заданы уравнениями, удобнее действовать через числа. Здесь на первый план выходит направляющий вектор — вектор, задающий направление прямой.

Идея такая. Если прямые параллельны или даже совпадают, их направляющие векторы смотрят вдоль одной линии, то есть коллинеарны. А коллинеарность двух векторов означает, что их соответствующие координаты пропорциональны:

x₁/x₂ = y₁/y₂ = z₁/z₂.

Но у пропорциональности направлений есть подвох: она одинаково выполняется и для параллельных прямых, и для совпадающих. Поэтому проверка распадается на два шага. Сначала убеждаемся, что направляющие векторы коллинеарны. Затем берём любую точку с одной прямой и проверяем, лежит ли она на второй. Если не лежит — прямые параллельны; если лежит — они совпадают.

Разбор аналитического примера

Условие. Заданы две прямые. Нужно выяснить, параллельны ли они.

Прямая g задана каноническими уравнениями:

g: (x − 1)/1 = (y − 2)/3 = (z + 1)/(−2).

Прямая m задана как пересечение двух плоскостей:

m: { x − y − z + 1 = 0; x + y + 2z − 2 = 0 }.

Шаг 1. Направляющий вектор прямой g.
Для канонических уравнений направляющий вектор читается прямо из знаменателей:

s₁ = {1; 3; −2}.

Шаг 2. Направляющий вектор прямой m.
Прямая m — это линия пересечения двух плоскостей, поэтому она перпендикулярна обоим нормальным векторам этих плоскостей. Значит, её направление даёт векторное произведение нормалей n₁ = {1; −1; −1} и n₂ = {1; 1; 2}:

s₂ = n₁ × n₂ = | i j k; 1 −1 −1; 1 1 2 | = −i − 3j + 2k,

то есть

s₂ = {−1; −3; 2}.

Шаг 3. Проверяем коллинеарность.
Сравним оба направления. Легко заметить, что

s₁ = −s₂,

ведь {1; 3; −2} — это в точности {−1; −3; 2}, взятое с обратным знаком. Противоположные векторы коллинеарны, поэтому условие пропорциональности координат выполнено. Пока что прямые либо параллельны, либо совпадают.

Шаг 4. Отделяем параллельность от совпадения.
Возьмём точку, заведомо лежащую на прямой g. Из её канонических уравнений видно, что подходит точка с координатами (1; 2; −1). Подставим их в уравнения прямой m.

Первое уравнение: 1 − 2 − (−1) + 1 = 1 − 2 + 1 + 1 = 1. Получаем 1 = 0 — равенство неверное.

Раз координаты точки не удовлетворяют системе, эта точка не принадлежит прямой m. Значит, прямые не совпадают.

Вывод. Направляющие векторы коллинеарны, а общей точки у прямых нет. Следовательно, прямые g и m параллельны.

Доказывать параллельность помогают теоремы: признак через перпендикулярность общей плоскости, единственность параллельной через точку, транзитивность и лемма о пересечении плоскости. А когда прямые заданы уравнениями, всё сводится к работе с направляющими векторами: проверяем их коллинеарность, а затем одной контрольной точкой отличаем параллельные прямые от совпадающих.