Теорема о параллельности трёх прямых: почему это работает и как применять

Теорема о параллельности трёх прямых

Кажется, что вывод очевиден: если две прямые «повторяют» третью, они и между собой обязаны идти рядышком. На плоскости так и есть — спорить не о чем. Но пространство любит подкидывать сюрпризы, и здесь привычная логика вдруг требует доказательства. Ведь в объёме прямая может не пересекаться с другой и при этом не быть ей параллельной — они просто разойдутся в разных плоскостях. Так почему же связь «обе параллельны третьей» всё-таки гарантирует параллельность друг другу? Разберём этот вопрос по-честному.

Дальше мы сначала поймём, откуда берётся сомнение, затем сформулируем саму теорему и прочувствуем её смысл, аккуратно проведём доказательство и закрепим всё живой задачей про трапецию.

Откуда вообще берётся сомнение

На листе бумаги всё прозрачно. Если две линии параллельны одной и той же третьей, они наследуют её направление, а значит, никогда не сойдутся и между собой. Никаких подвохов.

В трёх измерениях всё тоньше. Тут у двух прямых есть третий сценарий поведения — скрещивание. Они не встречаются, но и параллельными не считаются, потому что не помещаются в одну плоскость. Представьте эстакаду над шоссе: верхняя дорога и нижняя нигде не пересекаются, однако параллельными их язык не повернётся назвать.

И вот тут возникает законный вопрос. Пусть прямые a и b обе параллельны прямой c. Что мешает им оказаться именно скрещивающимися — не встречаться, но лежать «наперекосяк» друг к другу? Пока мы это не исключим, транзитивность остаётся не самоочевидной, а гипотезой. Поэтому в пространстве её нужно именно доказывать.

Что утверждает теорема

Сформулируем то, к чему подводит рассуждение.

ТЕОРЕМА. Если каждая из прямых a и b параллельна одной и той же прямой c, то прямые a и b параллельны между собой.

Смысл прост и красив: параллельность в пространстве ведёт себя как «наследуемое» свойство. Стоит двум прямым «сверить направление» по общему образцу c — и они автоматически согласуются друг с другом. Прямая c здесь работает посредником, эталоном направления, к которому подстраиваются обе.

Доказать нужно две вещи сразу: что a и b лежат в одной плоскости и что общих точек у них нет. Только вместе эти два факта дают параллельность — именно так она и определяется в пространстве.

Доказательство: идём от посредника

Возьмём три прямые: a, b и c, причём a ∥ c и b ∥ c. Наша цель — показать, что a и b параллельны.

Начнём с того, что закрепим одну плоскость. Отметим на прямой b какую-нибудь точку — назовём её N. Прямая a вместе с точкой N, не лежащей на ней, однозначно задают некоторую плоскость; обозначим её α. Теперь у нас есть плоскость, в которой заведомо лежит прямая a и есть точка N от прямой b.

ЛЕММА. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая эту плоскость пересекает.

По условию b ∥ c. Раз мы допустили, что b протыкает плоскость α, лемма обязывает и прямую c пересечь α. Но c параллельна ещё и прямой a, а та целиком лежит в α. Значит, применив лемму второй раз — уже к паре a и c, — мы получили бы, что c пересекает плоскость, в которой лежит a. Выстраивается противоречивая цепочка: c одновременно и протыкает α, и связана параллельностью с прямой, лежащей в α. Такая ситуация не склеивается. Вывод один: наше предположение ошибочно, и прямая b целиком лежит в плоскости α — там же, где и a.

Итак, первый пункт закрыт: a и b оказались в одной плоскости. Осталось разобраться с общими точками. Допустим, они всё-таки пересекаются в какой-то точке. Тогда через эту точку проходили бы сразу две прямые, параллельные c, — и a, и b. Но через точку вне прямой можно провести лишь одну прямую, параллельную данной. Двух таких быть не может, поэтому пересечься a и b не вправе.

Обе части сошлись: прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Значит, a ∥ b. Что и требовалось доказать.

Задача: периметр четырёхугольника из середин

Теорема особенно хороша тем, что превращает запутанные конфигурации в аккуратные параллелограммы. Покажем это на конкретном примере.

Условие. В трапеции ABCD отмечены середины всех четырёх сторон: точка M — середина BD, точка N — середина CD, точка Q — середина AC, точка P — середина AB. Известно, что AD = 12 см, а BC = 14 см. Нужно найти периметр четырёхугольника MNQP.

Решение. Ключ к задаче — средние линии треугольников. В каждом треугольнике отрезок, соединяющий середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине. Разложим фигуру на треугольники и применим это правило.

Разбираемся с направлениями. Отрезок MN соединяет середины сторон в треугольнике, где одной из сторон служит BC, поэтому MN ∥ BC. Отрезок QP аналогично параллелен BC. Итак, обе прямые — MN и QP — параллельны одной и той же прямой BC. По теореме о трёх параллельных прямых отсюда сразу следует:

MN ∥ QP.

Точно так же поступаем со второй парой. Отрезки MP и NQ оба оказываются параллельны стороне AD. Снова две прямые параллельны общему образцу AD, и теорема даёт:

MP ∥ NQ.

Определяем тип четырёхугольника. В четырёхугольнике MNQP противоположные стороны попарно параллельны: MN ∥ QP и MP ∥ NQ. А это и есть признак параллелограмма. Следовательно, MNQP — параллелограмм.

Считаем длины сторон. Как средние линии, стороны равны половинам соответствующих сторон трапеции:

MN = BC / 2 = 14 / 2 = 7 см,

MP = AD / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Находим периметр. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому периметр удобно считать через две соседние стороны:

P = 2 · (MN + MP) = 2 · (7 + 6) = 2 · 13 = 26 см.

Ответ: периметр четырёхугольника MNQP равен 26 см.

Доказательство опирается на лемму о пересечении плоскости и на единственность параллельной через точку: сначала мы загоняем обе прямые в одну плоскость, затем исключаем их пересечение. А на практике теорема работает как быстрый способ распознавать параллелограммы — что мы и увидели на задаче с серединами сторон трапеции.