Параллельные прямые: от рельсов под окном до строгого определения

От рельсов под окном до строгого определения

Выгляните в окно вагона на длинном перегоне — два стальных рельса тянутся вперёд, держат ровно одинаковое расстояние и никогда не встречаются. Посмотрите на нотный лист, на струны арфы, на ряд одинаковых окон высотки — всюду один и тот же узор из линий, идущих бок о бок. Этот повсеместный узор математика назвала параллельностью и придала ему точный смысл. Начнём именно с наблюдения за миром, а уже потом переведём увиденное на язык определений и знаков.

Узор, который нас окружает

Стоит однажды обратить внимание — и параллельные линии начинают попадаться на каждом шагу. Клавиши фортепиано выстроены ровными рядами, струны гитары натянуты одна вдоль другой, пять линеек нотного стана бегут через весь лист, не сближаясь. Провода вдоль улицы держат дистанцию специально: сойдись они хоть на миг — и короткое замыкание оставит квартал без света. Рельсы метро и железной дороги тоже проложены строго ровно, иначе колёсам поезда просто не по чему было бы катиться.

В архитектуре этот приём работает не только на красоту, но и на прочность. Ровные вертикали фасада, одинаковые расстояния между колоннами, параллельные грани башен — всё это придаёт зданию устойчивость и тот самый строгий, величавый облик. Вспомните очертания триумфальной арки или строгую геометрию театрального фасада: ощущение порядка рождается именно из линий, которые идут рядом и не спорят друг с другом.

Когда линии по-настоящему параллельны

Житейское «идут рядом» звучит понятно, но математике нужна точность. Разберём, при каких именно условиях две прямые считаются параллельными.

Две прямые называют параллельными, если они лежат в одной плоскости, не совпадают и не имеют ни одной общей точки.

Каждое слово здесь на своём месте. Общая точка означала бы, что прямые пересекаются, — а это уже другой случай. Если же совпадают вообще все точки, то перед нами не две линии, а одна и та же прямая, записанная дважды. Поэтому в определении и оговорено: не совпадают и общих точек не имеют.

Когда речь идёт именно о плоскости, формулировку можно сжать до предела:

На плоскости этого достаточно: раз линии не встретились, деться им некуда — они обязаны идти параллельно. А вот в объёмном пространстве такой краткости уже мало, там прямые могут разойтись по разным плоскостям, но это отдельный разговор.

Как записать параллельность коротко

Проговаривать «прямая такая-то параллельна прямой такой-то» каждый раз утомительно, поэтому математики придумали компактный значок — две вертикальные чёрточки ∥. Запись выглядит так:

c ∥ d.

Читается она просто: «прямая c параллельна прямой d». Если же нужно подчеркнуть, что линии параллельными не являются, значок перечёркивают:

MN ∦ AB.

Эта запись означает, что отрезки MN и AB не лежат на параллельных прямых.

Не только прямые: отрезки и лучи

Параллельность легко переносится и на «кусочки» прямых. Логика тут одна на всех: смотрим не на сами фигуры, а на прямые, которым они принадлежат.

Два отрезка называют параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Так, отрезки AB и CD параллельны ровно тогда, когда параллельны несущие их прямые, и записывают это привычным AB ∥ CD. А если один отрезок лежит на прямой, пересекающей прямую другого, параллельности нет — как в случае MN ∦ CD.

Точно так же поступают и с другими сочетаниями: прямая и отрезок, прямая и луч, отрезок и луч, два луча. Достаточно проверить прямые, на которых они расположены, — и вопрос о параллельности решён. Одно правило обслуживает сразу все эти случаи.

Откуда взялось слово и знак

У понятия параллельности длинная родословная. Само слово пришло из греческого: «параллелос» буквально значит «идущий рядом», «проведённый друг возле друга» — то есть в названии уже спрятан весь смысл. Термином пользовались ещё в пифагорейской школе, задолго до того, как у параллельных прямых появилось строгое определение. Навести здесь порядок выпало Евклиду: в III веке до нашей эры в своих трудах он раскрыл понятие параллельных прямых так, что им пользуются до сих пор.

Почему рельсы вдалеке «сходятся»

Напоследок — красивый парадокс. Определение уверяет, что параллельные прямые никогда не пересекаются, а глаз твердит обратное. Взгляните вдоль тех же рельсов до самого горизонта: они словно стягиваются в одну точку. То же с уходящей вдаль дорогой или рядом фонарей.

Это обман зрения, а точнее — перспектива. Чем дальше от нас предмет, тем меньшим он кажется, и промежуток между линиями будто тает. Художники давно превратили эту иллюзию в инструмент: рисуя параллельные линии сходящимися, они создают на плоском холсте убедительную глубину. В реальности рельсы, разумеется, держат дистанцию до последнего метра — сходятся они лишь в нашем восприятии, а не в геометрии.