Площадь фигуры: как одно число описывает «размер» плоскости

Как одно число описывает «размер» плоскости

Возьмите два земельных участка. Один — вытянутая полоса, другой — почти квадрат. Какой из них больше? На глаз не разберёшь: форма мешает, длина обманывает. Нужен способ выразить «сколько места занимает фигура» одним честным числом, не зависящим от того, вытянута она или скруглена. Это число и называют площадью.

Но чтобы его получить, сначала надо договориться о мерке. И вот тут в игру вступает квадрат.

Почему меркой стал именно квадрат

Измерить площадь — значит понять, сколько раз в фигуру помещается некий эталон. Логичнее всего взять за эталон квадрат со стороной, равной единице: его удобно укладывать вплотную, без зазоров и нахлёстов, и им можно замостить любую плоскую область. Такой квадрат называют единичным, а его площадь принимают за единицу измерения.

Дальше всё держится на двух простых соглашениях. Во-первых, равные фигуры имеют равные площади — если одну можно наложить на другую без искажений, их «размер» совпадает. Во-вторых, площадь целого равна сумме площадей частей: разрежьте фигуру на куски, посчитайте каждый — и сложение даст ответ для всей области. Именно это второе свойство позже позволит нам расправляться с самыми причудливыми контурами.

Отсюда рождается и первая формула. Если сторона квадрата равна a, то вдоль неё укладывается a единичных отрезков, и по обе стороны получается a рядов по a клеток. Перемножаем — и площадь квадрата оказывается квадратом его стороны:

S = a².

От квадрата к прямоугольнику и наклонённым фигурам

Растянем квадрат в одну сторону — получим прямоугольник с разными сторонами a и b. Клетки внутри по-прежнему укладываются ровными рядами: b штук в ряду, a рядов. Значит, площадь равна произведению соседних сторон:

S = ab.

Теперь наклоним прямоугольник, превратив его в параллелограмм. Стороны остались прежними, но фигура «завалилась» набок. Хитрость в том, что параллелограмм можно перекроить в прямоугольник: срезать треугольник с одного края и приставить к другому. При этом основание не меняется, а вот вторая мерка — это уже не боковая сторона, а высота, то есть перпендикуляр от основания до противоположной стороны. Поэтому площадь параллелограмма считают через сторону и опущенную на неё высоту:

S = a·h.

Иногда высоту неудобно измерять, зато известны обе стороны и угол между ними. Тогда высоту выражают через синус этого угла (h = b·sin α), и формула принимает вид:

S = a·b·sin α.

Обе записи описывают одну и ту же величину — просто отталкиваются от разных исходных данных.

Трапеция: усредняем основания

У трапеции параллельны только два основания, и они, как правило, разной длины — короткое a и длинное b. Представить её площадь помогает такой приём: приставьте к трапеции её же копию, перевёрнутую вверх ногами. Две трапеции состыкуются в параллелограмм, у которого основание равно сумме (a + b), а высота та же h. Площадь этого параллелограмма — (a + b)·h, но в нём уместились две наши трапеции. Делим пополам:

S = ½·(a + b)·h.

По сути мы берём среднее двух оснований и умножаем на высоту — трапеция ведёт себя как прямоугольник со «сглаженной» шириной.

Треугольник: одна фигура — целый набор формул

Треугольник — самый гибкий случай, и формул для него больше всего. Причина проста: любой многоугольник можно разрезать на треугольники, поэтому именно эту фигуру математики изучили со всех сторон.

Через две стороны и угол. Если высоту заменить выражением через синус угла между сторонами, получаем удобную запись для случая, когда даны две стороны b и c и угол α между ними:

S = ½·b·c·sin α.

Формула Герона. Бывает, что известны только три стороны a, b, c — ни углов, ни высот. Тогда сначала находят полупериметр p = (a + b + c)/2, а затем площадь:

S = √(p·(p − a)·(p − b)·(p − c)).

Через вписанную окружность. Если в треугольник вписана окружность радиуса r, площадь связана с тем же полупериметром на удивление коротко:

S = p·r.

Через описанную окружность. Когда известны все три стороны и радиус R описанной окружности, работает формула:

S = (a·b·c)/(4·R).

Равносторонний треугольник. Для правильного треугольника со стороной a все данные сводятся к одному числу, и площадь выражается компактно:

S = (a²·√3)/4.

Такое обилие формул — не роскошь, а удобство: под каждый набор известных величин найдётся своя.

Пример 1: разрезаем стрелку на два треугольника

Условие. На клетчатой бумаге нарисован четырёхугольник, похожий на наконечник. Каждая клетка — это единица площади. Прямые измерения тут не помогут, потому что фигура несимметрична.

Идея решения. Вспомним свойство аддитивности: разобьём фигуру диагональю на два треугольника и посчитаем каждый отдельно.

Первый треугольник опирается на вертикальный отрезок длиной 5 клеток, а высота, опущенная на него, равна 3 клеткам:

S₁ = ½·5·3 = 7,5.

Второй треугольник делит то же основание в 5 клеток, но высота к нему составляет 2 клетки:

S₂ = ½·5·2 = 5.

Складываем части:

S = S₁ + S₂ = 7,5 + 5 = 12,5.

Одна диагональ — и вместо непонятного контура две простые формулы половины произведения.

Пример 2: прямоугольник в окружении срезанных углов

Условие. Другая фигура на клетчатом поле выглядит как прямоугольник, у которого по краям «прилеплены» и «откушены» треугольные фрагменты. Клетка снова равна единице площади.

Идея решения. Здесь удобно выделить крупный прямоугольник в середине, а всё остальное разложить на треугольники по углам. Затем сложим все площади вместе.

Центральный прямоугольник со сторонами 4 и 7 клеток:

S₀ = 4·7 = 28.

Четыре угловых треугольника считаем по формуле половины произведения основания на высоту:

S₁ = ½·4·1 = 2,
S₂ = ½·3·1 = 1,5,
S₃ = ½·3·3 = 4,5,
S₄ = ½·4·1 = 2.

Суммируем все куски:

S = S₀ + S₁ + S₂ + S₃ + S₄ = 28 + 2 + 1,5 + 4,5 + 2 = 38.

Ответ: 38.

Площадь — это число, показывающее, сколько единичных квадратов умещается в фигуре, а квадрат стал универсальной меркой потому, что им можно замостить плоскость без пропусков. От единичного квадрата выводится площадь настоящего квадрата (S = a²), затем прямоугольника (S = ab), а через перекраивание — параллелограмма (S = ah или ab·sin α) и трапеции (½(a+b)·h). Треугольник получил целый арсенал формул под разные данные: сторону и высоту, две стороны с углом, три стороны (формула Герона), радиус вписанной или описанной окружности, а также отдельную запись для равностороннего случая. А любую нестандартную фигуру всегда можно измерить, разбив её на такие простые части и сложив их площади — именно этот приём мы и отработали на двух примерах