Сумма углов треугольника: почему их всегда ровно 180° и при чём тут параллельные прямые

Почему их всегда ровно 180° и при чём тут параллельные прямые

Вырежьте из бумаги любой треугольник — хоть вытянутый и колючий, хоть почти равносторонний. Оторвите три его уголка и приложите их вершинами к одной точке, плотно, один к другому. Что получится? Три уголка неизменно улягутся в аккуратную прямую линию — развёрнутый угол, ровно половину полного оборота. Попробуйте с другим треугольником — результат тот же. С третьим — снова.

Это не совпадение и не «правило, которое надо вызубрить». За ним стоит красивая причина, и живёт она в мире параллельных прямых. Стоит увидеть, как углы треугольника «раскладываются» вдоль одной прямой, — и знаменитые 180° перестают быть загадочной константой из учебника. А вместе с ними станет очевидной и вторая теорема — про внешний угол, которая обычно кажется отдельным фактом, а на деле вытекает из первой почти даром. Давайте раскрутим эту цепочку.

Главная идея: углы треугольника «разворачиваются» вдоль прямой

Возьмём произвольный треугольник и назовём его вершины буквами — пусть будут E, F, G. Наша цель — понять, почему три его угла в сумме дают именно 180°.

Сделаем одно-единственное дополнительное построение. Через верхнюю вершину F проведём прямую, параллельную основанию EG. Вот и весь секрет — дальше работает магия параллельных прямых.

Посмотрите, что происходит в этой вершине F. Через неё проходит прямая, и над треугольником у вершины собрались сразу три угла подряд:

• слева — угол между проведённой прямой и стороной FE;
• в середине — сам угол треугольника при вершине F;
• справа — угол между стороной FG и той же прямой.

И тут вступает свойство параллельных прямых. Сторона FE пересекает две параллельные прямые (проведённую и основание EG), выступая для них секущей. А при секущей накрест лежащие углы равны. Значит, левый угол наверху равен углу треугольника при вершине E. Точно так же сторона FG — вторая секущая, и правый угол наверху равен углу при вершине G.

Соберём всё вместе. Три угла у вершины F дают 180°, но левый из них равен углу E, а правый — углу G. Выходит:

∠E + ∠F + ∠G = 180°.

Вот и вся причина. Параллельная прямая как будто взяла два нижних угла и «подняла» их наверх, к третьему, выложив все три в одну прямую линию. Ровно то же самое вы проделали руками, отрывая бумажные уголки, — только теперь понятно, почему это обязано срабатывать всегда.

Что сразу следует из теоремы

Одна эта формула тянет за собой ворох полезных выводов — их удобно держать под рукой:

• Двух прямых или тупых углов в треугольнике быть не может. Даже два прямых угла уже дали бы 180°, и на третий не осталось бы ничего. Поэтому прямой или тупой угол в треугольнике всегда только один.
• Зная два угла, третий находишь мгновенно. Просто вычти их сумму из 180°.
• У равностороннего треугольника все углы равны 60°. Три одинаковых угла делят 180° поровну.
• В прямоугольном треугольнике два острых угла дают в сумме 90°. Прямой угол забрал свою половину, остальное досталось двум другим.

Внешний угол: бесплатное следствие главной теоремы

Теперь — вторая теорема, которая почти дарит себя сама. Сначала о том, что такое внешний угол.

Продлим одну из сторон треугольника за вершину. Между этим продолжением и соседней стороной образуется угол — его и называют внешним углом треугольника. Он смежный с внутренним углом при той же вершине, то есть вместе они составляют развёрнутый угол в 180°.

А теперь смотрите, какой красивый факт получается:

Почему так? Проследим за логикой в два коротких шага.

С одной стороны, внешний угол дополняет свой внутренний угол до 180° (они смежные):

внешний угол = 180° − внутренний угол при этой же вершине.

С другой стороны, по главной теореме все три внутренних угла тоже дают 180°, а значит, тот самый внутренний угол при вершине равен:

внутренний угол = 180° − (два других внутренних угла).

Подставим второе в первое:

внешний угол = 180° − [180° − (два других угла)] = сумма двух других углов.

Число 180° сократилось — и остались ровно два «дальних» угла. Никакого нового построения не понадобилось: теорема о внешнем угле выпала из теоремы о сумме углов буквально за две строчки. Это и есть смысл слова «следствие».

Практическая польза очевидна: если известны два угла треугольника, внешний угол при третьей вершине можно не искать через промежуточные вычисления, а сразу сложить эти два угла.

Разбор задач

Задача 1. Углы равностороннего треугольника

Условие. Найдите все углы равностороннего треугольника.

Решение. У равностороннего треугольника все стороны равны, а против равных сторон лежат равные углы. Значит, и все три угла одинаковы. Обозначим каждый через α. По теореме о сумме углов:

α + α + α = 180°,

3α = 180°,

α = 60°.

Ответ: все три угла равны 60°.

Задача 2. Равнобедренный треугольник с углом 100° (разбор случаев)

Условие. Один из углов равнобедренного треугольника равен 100°. Найдите остальные углы.

Решение. В равнобедренном треугольнике равны углы при основании, а угол между равными сторонами (угол при вершине) может отличаться. В условии не сказано, какой именно угол равен 100°, поэтому честно рассмотрим оба случая.

Случай 1. 100° — угол при основании.

Тогда второй угол при основании тоже равен 100° (углы при основании равны). Но уже их сумма составляет 100° + 100° = 200°, а это больше 180°. На третий угол не остаётся ничего — противоречие. Такой случай невозможен.

Случай 2. 100° — угол при вершине (между равными сторонами).

Тогда два угла при основании равны между собой; обозначим каждый через β. По теореме о сумме углов:

100° + β + β = 180°,

2β = 80°,

β = 40°.

Ответ: углы треугольника равны 100°, 40° и 40°.

Обратите внимание: разбор случаев здесь не формальность. Тупой угол (100°) просто не может стоять при основании равнобедренного треугольника — иначе таких углов оказалось бы два, и лимит в 180° был бы превышен. Теорема о сумме углов сама отсекла невозможный вариант.

Задача 3. Угол в составной фигуре (через сумму углов)

Условие. В равнобедренном треугольнике XYZ с основанием XY из вершины проведён отрезок к точке O, образующий внутренний треугольник XOZ. Известно, что ∠XOZ = 45°, а угол при основании ∠Y = 25°. Найдите угол ∠XZO.

Решение. Поскольку треугольник XYZ равнобедренный с основанием XY, углы при основании равны:

∠X = ∠Y = 25°.

Теперь рассмотрим треугольник XOZ. В нём известны два угла: ∠X = 25° и ∠XOZ = 45°. Третий угол найдём по теореме о сумме углов:

∠XZO = 180° − ∠X − ∠XOZ = 180° − 25° − 45° = 110°.

Ответ: ∠XZO = 110°.

Задача 4. Тот же чертёж, но через теорему о внешнем угле

Условие. В той же фигуре теперь известно, что ∠XZO = 45°, а ∠Y = 25°. Найдите угол ∠XOZ, воспользовавшись теоремой о внешнем угле.

Решение. Снова углы при основании равны: ∠X = ∠Y = 25°.

Сначала найдём полный угол при вершине Z в большом треугольнике XYZ:

∠Z = 180° − ∠X − ∠Y = 180° − 25° − 25° = 130°.

Отрезок к точке O делит этот угол на две части. Одна часть — ∠XZO = 45°, значит, вторая:

∠OZY = ∠Z − ∠XZO = 130° − 45° = 85°.

Теперь ключевой ход. Для треугольника OZY угол ∠XOZ оказывается внешним углом при вершине O (он смежный с внутренним углом этого треугольника). По теореме о внешнем угле он равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника OZY — то есть ∠OZY и ∠Y:

∠XOZ = ∠OZY + ∠Y = 85° + 25° = 110°.

Ответ: ∠XOZ = 110°.

Заметьте, как теорема о внешнем угле срезала путь: вместо того чтобы отдельно искать третий угол во вспомогательном треугольнике, мы сразу сложили два известных угла и получили ответ.

Вся тема держится на одной мысли: сумма углов треугольника равна 180° не «просто так», а потому что параллельная прямая через вершину раскладывает три угла вдоль одной прямой линии. Из этого единственного факта вытекает и теорема о внешнем угле, и весь набор удобных следствий. Соберём выводы в таблицу.

Держите в голове образ бумажных уголков, сложенных в прямую линию, или параллельной прямой, «поднимающей» углы основания к вершине, — и вы никогда не усомнитесь, откуда берутся 180°. А теорема о внешнем угле останется тем, чем и является: коротким и естественным продолжением этой же идеи.