Как найти площадь треугольника: три формулы, отвечающие на один и тот же вопрос

Три формулы, отвечающие на один и тот же вопрос

Положите на стол лист бумаги и проведите одну диагональ из угла в угол. Прямоугольник распался на два одинаковых треугольника — и каждый занял ровно половину листа. Вот вам первая и главная подсказка ко всей теме: треугольник почти всегда можно «вписать» в прямоугольник, а его площадь окажется какой-то долей этого прямоугольника.

Именно эта мысль связывает воедино все формулы площади. На первый взгляд их много, и они выглядят совсем по-разному: где-то перемножают основание с высотой, где-то тянут громоздкий корень из четырёх скобок, где-то откуда-то берётся √3. Но за каждой стоит один и тот же вопрос: какую часть прямоугольника занимает наш треугольник? Разные формулы — просто разные способы ответить на него, смотря что нам известно. Разберём три главных подхода и в каждом сначала поймём геометрию, а уже потом запишем формулу.

Немного о том, что такое площадь

Прежде чем считать, договоримся, чем вообще меряем. За единицу площади принимают квадрат со стороной, равной единице, — маленькую клетку. Площадь фигуры — это сколько таких клеток в неё помещается. Нам пригодятся два простых, почти очевидных правила:

1. Равные фигуры имеют равную площадь. Наложите один треугольник на точно такой же — они укроют одинаковое число клеток.
2. Площадь складывается из частей. Разрежьте фигуру на куски — сумма их площадей даст площадь целого.

Эти два правила и есть весь фундамент. На них держатся все дальнейшие формулы.

Быстрый пример «на клетках». Пусть одна сторона треугольника — диагональ прямоугольника шириной 5 клеток и высотой 6 клеток. Прямоугольник вмещает 5 × 6 = 30 клеток, а треугольник забирает ровно половину:

30 : 2 = 15 клеток.

Мы уже неявно воспользовались главной идеей: посчитали прямоугольник и взяли его долю.

Способ 1: основание × высоту ÷ 2 — половина «своего» прямоугольника

Начнём с самого универсального способа. Он работает, когда известны сторона треугольника (её называют основанием) и высота, опущенная на эту сторону — перпендикуляр от противоположной вершины.

Почему в формуле делят на два? Давайте увидим это глазами, без строгого доказательства.

Ключевой момент: высота делит наш треугольник на две части, и каждая такая часть — ровно половина своего бокового прямоугольничка. То есть треугольник забирает по половине с каждой стороны, а вместе — половину всего прямоугольника. Отрежьте два боковых обрезка, переверните их — и они в точности заполнят сам треугольник. Получается, треугольник и «остаток» равны, а значит, треугольник — это половина прямоугольника.

Отсюда и формула:

S = ½ · a · h,

где a — основание, h — высота к нему. Площадь прямоугольника — это a · h, а треугольник берёт половину.

Пример

Основание треугольника равно 9 клеткам, высота к нему — тоже 9 клеткам. Тогда:

S = ½ · 9 · 9 = 40,5.

Важная деталь: высота необязательно проходит внутри треугольника, но правило «половина основания на высоту» работает всегда — именно потому, что в основе лежит разрезание прямоугольника.

Способ 2: формула Герона — когда высоты нет, но известны все три стороны

Первый способ хорош, пока у нас есть высота. А если её не дали? Представьте, что вы знаете только длины трёх сторон — например, замерили рулеткой три ребра треугольного участка земли, но никаких перпендикуляров не строили. Высоту искать долго и неудобно. На помощь приходит формула Герона — самодостаточный инструмент, которому нужны только три стороны.

Сначала находят полупериметр — половину суммы всех сторон. Его принято обозначать буквой p:

p = (a + b + c) / 2.

А затем площадь считают так:

S = √( p · (p − a) · (p − b) · (p − c) ).

На вид формула тяжеловата, но пользоваться ей просто: подставил три стороны, нашёл полупериметр — и остаётся аккуратно перемножить четыре множителя под корнем. Никаких высот и углов знать не нужно, и в этом её главная прелесть.

По сути формула Герона отвечает на тот же вопрос о «доле прямоугольника», просто обходным путём: она прячет внутри себя и высоту, и теорему Пифагора, но избавляет нас от необходимости искать их вручную.

Пример

Пусть стороны треугольника равны 13, 14 и 15.

Шаг 1. Полупериметр.

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21.

Шаг 2. Разности «полупериметр минус сторона».

• p − a = 21 − 13 = 8
• p − b = 21 − 14 = 7
• p − c = 21 − 15 = 6

Шаг 3. Перемножаем под корнем.

S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.

Ответ: площадь треугольника равна 84.

Обратите внимание, как гладко всё сошлось: под корнем оказалось точное число, а высоту мы так ни разу и не считали.

Способ 3: равносторонний треугольник — красивая формула через √3

Отдельного упоминания заслуживает равносторонний треугольник — тот, у которого все три стороны одинаковы. Для него можно вывести особую компактную формулу, и вывести её мы сумеем сами, опираясь на первый способ «основание × высоту ÷ 2».

Обозначим сторону через a. Проведём высоту к основанию. У равностороннего треугольника высота обладает удобным свойством: она попадает точно в середину основания и делит его пополам. Значит, слева от неё оказывается прямоугольный треугольник со сторонами: гипотенуза a (это боковая сторона) и один катет a/2 (половина основания). Второй катет — как раз наша высота h.

Найдём высоту по теореме Пифагора:

h² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = (3/4)·a².

Извлекаем корень:

h = (a√3) / 2.

Теперь подставим эту высоту в обычную формулу площади S = ½ · a · h:

S = ½ · a · (a√3)/2 = (a²√3) / 4.

Вот и вся красивая формула. Она не «прилетела ниоткуда» — это тот же самый способ «половина основания на высоту», просто высоту мы заранее выразили через сторону.

Пример

Найдём площадь равностороннего треугольника со стороной 2.

S = (2² · √3) / 4 = (4√3) / 4 = √3 ≈ 1,73.

Ответ: площадь равна √3, то есть примерно 1,73.

Все три формулы отвечают на один вопрос — какую долю прямоугольника занимает треугольник, — но выбираются под то, что именно вам известно. Есть высота — берите базовый способ. Даны только стороны — формула Герона. Треугольник равносторонний — годится компактная формула через √3. Соберём это в таблицу.

Держите в голове образ листа, разрезанного диагональю на два одинаковых треугольника, — и формулы перестанут быть набором разрозненных значков. За каждой стоит одна и та же геометрия: треугольник — это доля прямоугольника, а формула лишь подсказывает, как эту долю посчитать, исходя из имеющихся данных.