Движение в геометрии: как пространство отображается само на себя

Как пространство отображается само на себя

Многие геометрические преобразования объединяет одна общая черта — они сохраняют размеры фигур. Именно на этом свойстве строится понятие движения. Ниже мы поэтапно раскроем, что означает отображение пространства на самого себя, сформулируем определение движения и разберём три его главных вида: симметрию относительно точки, относительно оси и относительно плоскости. Каждый вид сопроводим наглядным построением на примере тетраэдра.

С чего начинается движение: отображение пространства на себя

Прежде чем говорить о движении, стоит договориться о более широком понятии — об отображении.

Теперь, опираясь на это, легко ввести и главное понятие статьи.

Движением пространства называют такое отображение его на себя, при котором расстояния между любыми парами соответствующих точек остаются неизменными.

Иными словами, движение — это преобразование, не искажающее размеры: сколько было между двумя точками, столько же останется и между их образами.

Что сохраняет движение: три опорные теоремы

Из свойства неизменности расстояний вытекает целый ряд утверждений. Приведём три ключевые теоремы без доказательств.

• Теорема 1. Отрезок под действием движения переходит в отрезок такой же длины.
• Теорема 2. Треугольник при движении отображается на равный ему треугольник.
• Теорема 3. Пирамида в результате движения превращается в равную ей пирамиду.

Проще говоря, движение переносит и разворачивает фигуры в пространстве, но никогда не растягивает и не сжимает их. К числу базовых примеров движения относят три вида симметрии — центральную, осевую и зеркальную. Рассмотрим каждую подробно.

Центральная симметрия

Начать удобнее с идеи симметричности двух точек относительно третьей — центра.

Две точки X и X₁ считают симметричными относительно точки O, если O оказывается серединой отрезка [XX₁].

Распространив это правило на все точки фигуры, получаем определение самого преобразования.

Центральной симметрией фигуры относительно точки называют отображение, при котором новая фигура складывается из точек, симметричных каждой точке исходной фигуры относительно заданного центра.

Через каждую вершину тетраэдра проведём прямую, проходящую через центр O. На этих прямых по другую сторону от O отложим отрезки так, чтобы выполнялись равенства:

|AO| = |A′O|, |BO| = |B′O|, |CO| = |C′O|, |DO| = |D′O|.

Соединив полученные точки A′, B′, C′, D′, получим искомый симметричный тетраэдр.

Осевая симметрия

Здесь роль ориентира играет уже не точка, а прямая — ось.

Точки X и X₁ называют симметричными относительно оси a, если прямая (XX₁) перпендикулярна этой оси, а сама ось a делит отрезок [XX₁] на две равные части.

Применив условие ко всем точкам фигуры, приходим к определению осевой симметрии.

Осевой симметрией фигуры относительно оси называют отображение, при котором получившаяся фигура составлена из точек, симметричных каждой точке исходной фигуры относительно данной оси.

Из каждой вершины тетраэдра опустим прямую, перпендикулярную оси l. На этих прямых отложим отрезки так, чтобы точка их пересечения с осью служила серединой. Соединив концы построенных отрезков, получим тетраэдр, симметричный исходному относительно оси l.

Зеркальная симметрия

Последний вид симметрии опирается на плоскость — она работает как зеркало.

Точки P и P′ называют симметричными относительно плоскости a, если прямая (PP′) перпендикулярна этой плоскости, а плоскость a делит отрезок [PP′] пополам.

Отсюда естественно следует определение всего преобразования.

Зеркальной симметрией фигуры относительно плоскости называют отображение, при котором новая фигура образована точками, симметричными каждой точке исходной фигуры относительно данной плоскости.

Через каждую вершину тетраэдра проведём прямую, перпендикулярную плоскости l. На этих прямых отложим отрезки так, чтобы точка пересечения с плоскостью оказалась серединой каждого из них. Соединив концы отрезков, получим тетраэдр, зеркально-симметричный исходному.