Многоугольники и четырёхугольники: строение фигур и сумма их углов

Строение фигур и сумма их углов

Квадрат, ромб, трапеция, прямоугольник — все эти привычные фигуры объединяет одно общее семейство. Каждая из них представляет собой частный случай многоугольника. В этой статье мы двинемся от общего к частному: сначала разберём, что скрывается за словом «многоугольник», затем выясним, чем выпуклые фигуры отличаются от невыпуклых, выведем формулу для суммы их углов и, наконец, спустимся к четырёхугольникам с разбором двух практических заданий.

Что такое многоугольник

Начнём с ключевого понятия, на которое опирается весь дальнейший разговор.

У такой конструкции есть два вида опорных элементов. Сами отрезки принято называть сторонами многоугольника, а точки, где они стыкуются, — его вершинами.

Количество вершин удобно использовать как способ классификации фигур.

Если у многоугольника ровно n вершин, его называют n-угольником.

Выпуклые и невыпуклые фигуры

Многоугольники распадаются на две группы, и различить их помогает простой мысленный приём: достаточно провести прямую вдоль любой из сторон и посмотреть, как расположилась остальная фигура.

Многоугольник называют выпуклым, если при продолжении любой его стороны в прямую вся фигура остаётся по одну сторону от этой прямой.

Если же найдётся хотя бы одна такая прямая, которая рассекает фигуру и оставляет её части по разные стороны, многоугольник считают невыпуклым.

Проще говоря, у выпуклой фигуры ни одна сторона не «заводит» контур внутрь; невыпуклая же имеет как минимум одну вмятину.

Сумма углов: выводим общую формулу

Теперь перейдём к главному числовому свойству выпуклых многоугольников — сумме их внутренних углов.

ТЕОРЕМА 1
Сумма углов выпуклого n-угольника равна

(n − 2) · 180°.

Доказательство.

В основе доказательства лежит идея разбиения фигуры на треугольники. Возьмём произвольный выпуклый многоугольник с вершинами A₁A₂A₃A₄A₅…Aₙ и выберем одну из них, скажем A₁, как опорную. Проведём из этой вершины диагонали ко всем остальным вершинам, до которых её ещё не соединяют стороны.

Такое веерное разбиение делит весь многоугольник на треугольники, и их всегда оказывается ровно n − 2. Ключевой момент здесь вот в чём: все углы этих треугольников в сумме дают в точности сумму углов исходной фигуры — ничего не теряется и ничего лишнего не добавляется.

Остаётся вспомнить, что углы одного треугольника дают 180°. Значит, для n − 2 треугольников общая сумма составит

(n − 2) · 180°.

Теорема доказана.

Четырёхугольник как частный случай

Опираясь на понятие n-угольника, легко перейти к одной из самых востребованных фигур школьной геометрии.

Всё, что мы говорили про деление на выпуклые и невыпуклые фигуры, полностью применимо и здесь. Среди выпуклых четырёхугольников встречаются самые знакомые представители: квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб и параллелограмм.

Для этой фигуры сумма углов принимает конкретное значение, которое напрямую вытекает из уже доказанной теоремы.

ТЕОРЕМА 2
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.

Доказательство.

Здесь не нужно ничего доказывать заново — достаточно подставить n = 4 в формулу из первой теоремы:

(4 − 2) · 180° = 360°.

Теорема доказана.

Разбираем задачи

Найдём сумму углов сразу для нескольких выпуклых фигур: пятиугольника, девятиугольника и двенадцатиугольника.

Инструмент у нас один — формула (n − 2) · 180°. Подставим по очереди нужные значения n.

Для пятиугольника:

(5 − 2) · 180° = 3 · 180° = 540°.

Для девятиугольника:

(9 − 2) · 180° = 7 · 180° = 1260°.

Для двенадцатиугольника:

(12 − 2) · 180° = 10 · 180° = 1800°.

Пойдём в обратную сторону: сумма углов некоторого выпуклого многоугольника равна 1620°. Сколько у него углов?

На этот раз известна сумма, а найти нужно n. Составим уравнение на основе той же формулы:

(n − 2) · 180° = 1620°.

Разделим обе части на 180°:

n − 2 = 9.

Отсюда:

n = 11.

Ответ: 11.