Проекция вектора на ось: смысл, формула и разбор задач

Проекция вектора на ось

Представьте, что вектор отбрасывает тень на прямую — примерно так и работает проекция. Мы словно светим на вектор строго сверху и смотрим, какой след он оставляет на выбранной оси. Этот след и несёт в себе всю суть понятия: он показывает, насколько далеко вектор «продвигает» нас вдоль конкретного направления. Ниже мы раскрутим идею от самого начала — от наглядного образа к строгой формуле, а затем закрепим её на конкретных числах.

Тень вектора на прямой: с чего начать

Проще всего ухватить смысл через простую картинку. Возьмём ось — направленную прямую — и произвольный вектор рядом с ней. Опустим из начала и конца вектора перпендикуляры на эту ось. Две точки пересечения отсекут на оси отрезок, и вот этот отрезок, взятый со знаком, и называют проекцией.

Получается, проекция — это не просто размер, а величина с направлением, спрятанным в знаке. Она отвечает на вопрос: сколько «пути» вектор проходит вдоль оси и в какую сторону.

От картинки к углу: как рождается формула

Наглядность — это хорошо, но считать хочется по формуле. Здесь на сцену выходит угол между вектором и осью, и он оказывается главным героем всей истории.

Обозначим длину вектора через |ā|, а угол, который он образует с положительным направлением оси, — через φ. Если мысленно достроить прямоугольный треугольник, где гипотенузой служит сам вектор, а один из катетов лежит вдоль оси, то этот катет — и есть наша проекция. Из школьной тригонометрии катет, прилежащий к углу, равен гипотенузе, умноженной на косинус этого угла. Так и появляется рабочая формула:

пр ā = |ā| · cos φ.

Красота косинуса в том, что он сам по себе следит за знаком. При остром угле косинус положителен — проекция выходит со знаком плюс. При тупом угле косинус уходит в минус — и проекция становится отрицательной. Ровно в 90° косинус равен нулю, а значит, и проекция обнуляется. Всё, что мы разглядели на картинке, формула воспроизводит автоматически.

Связь с координатами

Теперь свяжем проекцию с координатной записью — там она проявляется особенно наглядно. Когда вектор задан парой чисел ā = (x, y), эти числа и есть его проекции на координатные оси. Первое число — проекция на ось Ox, второе — проекция на ось Oy.

Вот почему координаты так удобны: их не нужно вычислять отдельной формулой, они уже готовые проекции. А если вектор задан двумя точками — началом A и концом B, — то проекцию на ось находят как разность соответствующих координат этих точек. Для оси Ox это будет разность абсцисс, для оси Oy — разность ординат.

Разбираем задачи

Вектор имеет длину |ā| = 10 и образует с осью угол 60°. Найдём его проекцию на эту ось.

Подставляем известные величины прямо в формулу через косинус:

пр ā = |ā| · cos φ = 10 · cos 60° = 10 · 0,5 = 5.

Ответ: 5.

Вектор длиной |ā| = 8 повёрнут относительно оси на угол 120°. Какова его проекция?

Угол тупой, поэтому заранее ждём отрицательный результат. Косинус 120° равен −0,5, отсюда:

пр ā = 8 · cos 120° = 8 · (−0,5) = −4.

Отрицательный знак прямо говорит: вектор направлен против оси.

Ответ: −4.

Вектор задан двумя точками: A(2, 3) и B(9, 7). Найдём его проекции на оси Ox и Oy.

Сначала перейдём от точек к координатам самого вектора. Для этого из координат конца B вычтем координаты начала A:

AB̄ = (9 − 2, 7 − 3) = (7, 4).

Полученные числа и есть искомые проекции. Проекция на ось Ox равна первой координате, на ось Oy — второй:

пр_Ox AB̄ = 7, пр_Oy AB̄ = 4.

Ответ: проекция на Ox равна 7, проекция на Oy равна 4.

Коротко о главном

Если собрать всё воедино, проекция вектора на ось — это его «тень» на направленной прямой, снабжённая знаком. Считать её удобнее всего одним из двух путей: через длину и косинус угла, когда известны эти величины, либо напрямую через координаты, если вектор задан числами или парой точек. Знак результата всегда подсказывает, совпадает ли направление вектора с осью или противоречит ему.