Координаты точки и координаты вектора

Попробуйте описать словами, где именно в комнате висит лампочка. Придётся привязываться к стенам: столько-то от одной, столько-то от другой, столько-то от пола. Ровно этим и занимается математика, когда переводит геометрию на язык чисел. Пространство нельзя измерить «на глаз», зато любую точку в нём можно снабдить точным набором чисел — своеобразным адресом. А как только у точек и векторов появляются такие адреса, громоздкие построения превращаются в простую арифметику.

Ниже разберёмся, как устроена эта система адресации, откуда точка берёт свои три числа, что означают координаты вектора и почему складывать и растягивать векторы можно, просто работая с их числами по отдельности.

Зачем пространству нужны числа

Геометрическая фигура сама по себе — это форма, а не данные. Пока мы работаем с чертежом, приходится полагаться на построения, циркуль и аккуратность руки. Но стоит задаче усложниться — например, найти расстояние между двумя точками внутри объёмного тела — и рисунок перестаёт помогать: линии накладываются, глубина теряется.

Выход прост и элегантен: договориться о способе, которым каждой точке ставится в соответствие набор чисел. Тогда всё, что раньше требовало построений, начинает считаться формулами. Расстояния, длины, направления — всё сводится к вычислениям с числами. Именно эту роль и выполняет система координат: она превращает пространство в измеримую среду, где у каждого объекта есть точный числовой адрес.

Система координат как измерительный прибор

Чтобы задавать адреса, нужна отправная точка и направления, вдоль которых мы будем отмерять расстояния. Соберём такой «прибор» шаг за шагом.

Остаётся последний штрих — задать единицу измерения. Отметим на осях единичный отрезок, чтобы было понятно, где «единица», где «двойка» и так далее. Готово: перед нами прямоугольная система координат в пространстве. Три взаимно перпендикулярные оси, общее начало и единый масштаб — этого достаточно, чтобы адресовать любую точку.

Три числа для одной точки

Теперь разберёмся, откуда берётся адрес произвольной точки. Возьмём какую-нибудь точку и назовём её M. Наша задача — понять, какие три числа ей соответствуют.

Мысленно достроим прямоугольный параллелепипед так, чтобы начало координат O и точка M оказались противоположными вершинами этого «ящика», а рёбра шли вдоль осей. Проекции точки на каждую из осей и дадут нам искомые числа. Первое число X — это отметка на оси Ox, второе Y — отметка на оси Oy, третье Z — отметка на оси Oz. Записывают адрес коротко:

M = (X, Y, Z).

Важно помнить: у одной и той же точки в разных системах координат числа будут разными. Адрес имеет смысл только вместе с той системой, в которой его назначили.
Запишем координаты вершин параллелепипеда, поставленного в угол системы координат так, что три его ребра лежат на осях.

Вершина в начале координат:

O = (0, 0, 0).

Вершины, попавшие на сами оси Ox, Oz и Oy, имеют по одному ненулевому числу:

Q = (2, 0, 0), N = (0, 0, 1,5), R = (0, 2,5, 0).

Вершины, лежащие в координатных плоскостях, имеют по два ненулевых числа и один ноль:

S = (2, 0, 1,5), L = (2, 2,5, 0), K = (0, 2,5, 1,5).

Дальняя от начала вершина «набирает» все три ненулевые координаты:

P = (2, 2,5, 1,5).

Обратите внимание на закономерность: чем «глубже» вершина уходит от начала, тем меньше нулей в её адресе.

Координаты вектора: раскладываем на составляющие

С точками разобрались — перейдём к векторам. Здесь помогает другая идея: любой вектор в пространстве можно собрать из трёх «эталонных» направлений.

Смысл в следующем: произвольный вектор δ̄ раскладывается по трём координатным векторам, причём единственным способом:

δ̄ = m·i̅ + n·j̅ + l·k̅.

Числа m, n и l показывают, сколько раз нужно взять каждое из эталонных направлений, чтобы получить наш вектор. Именно эти коэффициенты и называют координатами вектора. Записывают их так же компактно, как и у точки:

δ̄ = (m, n, l).

По сути, координаты вектора — это его «рецепт»: три числа, задающие вклад каждой оси. И раз разложение единственно, то и адрес у вектора ровно один.

Действия с векторами — это арифметика их чисел

Самое удобное следствие координатной записи вот в чём: операции над векторами сводятся к обычным действиям над их числами. Не нужно ничего строить — достаточно посчитать покоординатно.

Сложение. Чтобы сложить два вектора, складывают их соответствующие координаты по отдельности. Если ᾱ = (α₁, α₂, α₃) и β̄ = (β₁, β₂, β₃), то

ᾱ + β̄ = (α₁ + β₁, α₂ + β₂, α₃ + β₃).

Понять это легко: каждый вектор — это набор вкладов по трём осям, и при сложении вклады вдоль одной оси просто суммируются, не мешая двум другим.

Вычитание. Разность работает по тому же принципу, только координаты не складывают, а вычитают одну из другой. Первая ось отдельно, вторая отдельно, третья отдельно.

Умножение на число. Когда вектор умножают на действительное число, он растягивается или сжимается, а при отрицательном множителе ещё и разворачивается. В координатах это выражается предельно просто — каждое число умножается на этот множитель:

l·ᾱ = (l·α₁, l·α₂, l·α₃).

Общий принцип один: оси независимы, поэтому любую линейную операцию можно проводить с каждой координатой по отдельности.

Разбор примера

Условие. Даны два вектора: ᾱ = (3, 0, 4) и β̄ = (2, −1, 1). Найдём их сумму, разность и вектор 3ᾱ.

Решение. Действуем строго покоординатно.

Сумма — складываем числа по каждой оси:

ᾱ + β̄ = (3 + 2, 0 + (−1), 4 + 1) = (5, −1, 5).

Разность — вычитаем координаты второго вектора из первого:

ᾱ − β̄ = (3 − 2, 0 − (−1), 4 − 1) = (1, 1, 3).

Умножение на 3 — каждое число утраиваем:

3ᾱ = (3·3, 3·0, 3·4) = (9, 0, 12).

Как видите, ни одного построения не понадобилось — только аккуратные вычисления с тройками чисел. В этом и заключается вся сила координатного подхода: геометрия становится арифметикой.