Как найти угол между векторами: два способа и разбор задач

Как найти угол между векторами

Между двумя векторами всегда лежит какой-то угол — и часто именно его нужно вычислить, чтобы решить задачу. Загвоздка в том, что напрямую угол в пространстве «линейкой» не измеришь, особенно если векторы заданы только числами. Зато можно пойти в обход: посчитать не сам угол, а его синус или косинус, а уже потом восстановить угол. И тут на помощь приходят два разных произведения векторов — скалярное и векторное. Первое выводит нас на косинус, второе — на синус. По сути, это два разных ключа к одной двери, и выбирать инструмент удобно под конкретную задачу.

Разберём оба пути по очереди: сначала договоримся, что вообще считать углом между векторами, а затем соберём каждый способ как отдельный рабочий инструмент со своей геометрической подоплёкой.

Что понимают под углом между векторами

У векторов нет фиксированного места в пространстве — их можно свободно переносить. Поэтому, чтобы говорить об угле между ними, их сначала сводят в одну точку.

Пусть даны два вектора ᾱ и β̄. Выберем произвольную точку O и отложим от неё оба вектора: ᾱ = OA̅ и β̄ = OB̅. Угол AOB, образовавшийся между ними, и называют углом между векторами ᾱ и β̄.

Обозначают его так: ∠(ᾱ, β̄).

Есть и особый случай, о котором стоит договориться заранее. Если векторы направлены в одну сторону, а также если хотя бы один из них нулевой, угол между ними считают равным 0°. Это соглашение избавляет от неоднозначности там, где обычная картинка с точкой O попросту не строится.

Способ первый: через скалярное произведение

Первый инструмент опирается на скалярное произведение — операцию, которая связывает два вектора с одним-единственным числом.

Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

δ̄ · β̄ = |δ̄| · |β̄| · cos∠(δ̄, β̄).

Уже в этой записи спрятан косинус — а значит, и путь к углу. Осталось научиться вычислять скалярное произведение не через угол (который мы как раз ищем), а через координаты.

Если векторы δ̄ и β̄ заданы координатами (δ₁, β₁, γ₁) и (δ₂, β₂, γ₂), то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

δ̄ · β̄ = δ₁δ₂ + β₁β₂ + γ₁γ₂.

Теперь у нас два выражения для одной и той же величины. Приравняв их, легко выразить косинус. Из определения:

cos∠(δ̄, β̄) = (δ̄ · β̄) / (|δ̄| · |β̄|).

Подставим сюда координатную формулу произведения, а длины распишем через координаты. В итоге получаем готовую рабочую формулу:

cos∠(δ̄, β̄) = (δ₁δ₂ + β₁β₂ + γ₁γ₂) / (√(δ₁² + β₁² + γ₁²) · √(δ₂² + β₂² + γ₂²)).

Как только косинус найден, сам угол восстанавливается через арккосинус. Числитель здесь отвечает за «согласованность» направлений, а знаменатель просто нормирует результат на длины — поэтому косинус всегда остаётся в промежутке от −1 до 1.

Подставляем всё в формулу косинуса:

cos∠(δ̄, β̄) = 11 / (3·5) = 11/15.

Ответ: 11/15.

Способ второй: через векторное произведение

Второй инструмент устроен иначе. Здесь результат операции — не число, а новый вектор, и связан он уже не с косинусом, а с синусом угла.

Векторным произведением двух векторов называют вектор, который удовлетворяет трём условиям:

1. его длина равна произведению длин исходных векторов на синус угла между ними: |δ̄ × β̄| = |δ̄| · |β̄| · sin∠(δ̄, β̄);
2. он перпендикулярен обоим векторам сразу: δ̄ × β̄ ⊥ δ̄ и δ̄ × β̄ ⊥ β̄;
3. тройка (δ̄ × β̄, δ̄, β̄) ориентирована так же, как базис (i̅, j̅, k̅), то есть по правилу правой руки.

Обозначают эту операцию значком «×»: δ̄ × β̄.

Сам вектор произведения удобно находить через определитель, в первой строке которого стоят единичные векторы осей:

\deltā \times β̄ = \begin{vmatrix} i̅ & j̅ & k̅ \ δ_1 & δ_2 & δ_3 \ β_1 & β_2 & β_3 \end{vmatrix} = (δ_2β_3 − δ_3β_2,\ δ_3β_1 − δ_1β_3,\ δ_1β_2 − δ_2β_1).

Дальше логика та же, что и в первом способе. Из первого свойства выражаем синус:

sin∠(δ̄, β̄) = |δ̄ × β̄| / (|δ̄| · |β̄|).

Расписав длину векторного произведения и длины самих векторов через координаты, получаем полную формулу:

sin∠(δ̄, β̄) = √((δ₂β₃ − δ₃β₂)² + (δ₃β₁ − δ₁β₃)² + (δ₁β₂ − δ₂β₁)²) / (√(δ₁² + δ₂² + δ₃²) · √(β₁² + β₂² + β₃²)).

Зная синус, угол снова находят обратной тригонометрической функцией.

Длины исходных векторов мы уже считали в первом примере: |δ̄| = 3 и |β̄| = 5. Подставляем в формулу синуса:

sin∠(δ̄, β̄) = 2√26 / (3·5) = 2√26/15.

Ответ: 2√26/15.

Какой способ выбрать

Оба инструмента ведут к одному и тому же углу, но подходят к нему с разных сторон. Через скалярное произведение путь короче: там всего лишь суммы и корни, поэтому для обычного поиска угла косинусный способ, как правило, удобнее и быстрее. Векторное произведение требует возни с определителем, зато оно даёт не только синус, но и вектор, перпендикулярный обоим исходным, — а это бесценно, когда попутно нужна нормаль к плоскости или площадь параллелограмма. Короткое правило такое: нужен только угол — берите скалярное произведение; нужна ещё и перпендикулярность или площадь — тогда векторное.