Коллинеарные векторы: как найти вектор, идущий по той же «дороге»

Как найти вектор, идущий по той же «дороге»

Выйдите на прямое загородное шоссе и посмотрите вдаль. По одной полосе машины несутся вперёд, по встречной — навстречу вам, но обе полосы тянутся вдоль одной и той же линии дороги. Никто не сворачивает вбок, все движутся строго по одному направлению — просто кто-то туда, а кто-то обратно. Вот вам живой образ коллинеарных векторов: это стрелки, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых, будто машины на общем шоссе.

Именно эта картинка «одной дороги» проведёт нас через всю тему. Коллинеарность — не про длину стрелки и не про то, куда она приложена. Она только про одно: лежат ли векторы вдоль общего направления. 

Что значит «лежать на одной дороге»

Сначала договоримся, о чём вообще речь. Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец и, значит, направление, куда «смотрит» стрелка. Длину вектора называют его модулем.

Два ненулевых вектора называют коллинеарными, если они лежат на одной прямой либо на параллельных прямых. Проще говоря, их можно уложить вдоль одной воображаемой дороги. При этом возможны два варианта «движения»:

• Сонаправленные — обе стрелки смотрят в одну сторону, как машины в попутной полосе.
• Противоположно направленные — стрелки глядят в разные стороны, как встречный поток.

Оба случая — коллинеарность. Важно понять: длины при этом могут быть какими угодно. Короткая стрелка и длинная стрелка, лежащие вдоль общего направления, всё равно коллинеарны — как маленький мотоцикл и большой грузовик, едущие по одной трассе.

А что такое неколлинеарные векторы? Это стрелки, которые «сворачивают» с дороги. Представьте перекрёсток: одна улица идёт с запада на восток, другая с юга на север. Векторы вдоль них уложить в общее направление невозможно — между ними есть угол, отличный от 0° и 180°. Такие векторы задают уже целую плоскость, а не одну линию.

Отдельно стоит нулевой вектор — стрелка, у которой начало и конец совпали. У него нет направления, поэтому вопрос о коллинеарности с ним обычно не ставят: во всех рабочих признаках речь идёт именно о ненулевых векторах.

Первый способ проверки: пропорция координат

Как понять, лежат ли два вектора на общей дороге, если у нас на руках только их координаты? Здесь работает очень наглядное правило.

Вернёмся к образу шоссе. Если два вектора идут вдоль одного направления, то один из них — просто «растянутая» или «сжатая» копия другого. А растяжение стрелки означает, что все её координаты умножаются на одно и то же число. Отсюда и критерий:

Иначе говоря, отношения x-координат, y-координат и z-координат должны совпадать. Если хоть одно отношение выбивается — векторы «сворачивают» в разные стороны и коллинеарными не являются.

Разбор примера

Условие. Проверить, коллинеарны ли векторы a = (3; −1) и b = (9; −3).

Шаг 1. Прикинем общий множитель. Сравним первые координаты: чтобы из 3 получить 9, нужно умножить на 3. Проверим гипотезу, что b = 3 · a.

Шаг 2. Проверим остальные координаты с тем же множителем.

• по первой координате: 3 · 3 = 9 ✓
• по второй координате: 3 · (−1) = −3 ✓

Шаг 3. Вывод. Обе координаты вектора b получаются из координат a умножением на одно и то же число 3:

(9; −3) = 3 · (3; −1).

Множитель положительный, значит, векторы не просто коллинеарны, а ещё и сонаправлены — едут по одной дороге в одну сторону.

Ответ: векторы коллинеарны.

Заметьте, как быстро всё решилось: достаточно было угадать множитель по одной паре координат и проверить его на остальных. Если бы хоть где-то число не сошлось, ответ был бы отрицательным.

Второй способ проверки: векторное произведение равно нулю

У пропорции есть изящный «напарник» — проверка через векторное произведение. Она особенно удобна в пространстве и хороша тем, что сводит весь вопрос к одному вычислению.

Напомним смысл. Векторное произведение двух векторов — это новый вектор, перпендикулярный им обоим, а его длина равна |a| · |b| · sin φ, где φ — угол между исходными стрелками. Именно множитель sin φ тут всё и решает.

Вернёмся к дороге. Если векторы коллинеарны, угол между ними равен либо 0° (едут в одну сторону), либо 180° (навстречу). А синус и нуля, и 180 градусов равен нулю. Значит, вся длина векторного произведения обнуляется — оно превращается в нулевой вектор. И наоборот: если произведение оказалось нулевым, то sin φ = 0, а такое бывает только при угле 0° или 180° — то есть векторы обязательно лежат на общей дороге.

Геометрически это совсем прозрачно. Векторное произведение по модулю равно площади параллелограмма, построенного на двух стрелках. Но если стрелки лежат вдоль одной прямой, параллелограмм «схлопывается» в отрезок — у него нулевая площадь. Нет площади — нет и вектора произведения. Ровно поэтому нулевое произведение служит безошибочным признаком коллинеарности.

На практике произведение считают через определитель с ортами i, j, k в первой строке и координатами векторов в двух других. Если после раскрытия все три компоненты вышли нулевыми — векторы коллинеарны. Кстати, для плоского случая это тот же самый вывод, что и пропорция координат: обнуление произведения — это просто другая запись равенства отношений x и y.

Как построить вектор, коллинеарный данному

До сих пор мы проверяли готовые векторы. А если задача обратная — самим смастерить вектор, идущий по той же дороге, что и заданный? Здесь всё ещё проще, и снова помогает образ растяжения.

Возьмите любой ненулевой вектор и умножьте его на любое действительное число r, отличное от нуля. Полученный вектор гарантированно окажется коллинеарным исходному — ведь умножение на число только меняет длину стрелки и, возможно, разворачивает её, но никогда не уводит с прямой. Направление же зависит от знака множителя:

• если r > 0 — новый вектор сонаправлен исходному (та же полоса шоссе, то же направление движения);
• если r < 0 — новый вектор противоположно направлен (та же дорога, но встречный ход).

Проще говоря, любой коллинеарный вектор — это просто r · a при каком-то ненулевом r. Хотите вдвое длиннее и в ту же сторону — берите r = 2. Нужен встречный и втрое короче — берите r = −1/3. На координатах это отражается элементарно: каждую координату умножаете на r.

Небольшой пример. Пусть дан вектор a = (2; −5; 1). Тогда:

• 3 · a = (6; −15; 3) — коллинеарный, сонаправленный;
• −2 · a = (−4; 10; −2) — коллинеарный, противоположно направленный.

Оба построенных вектора лежат на одной дороге с исходным — мы лишь по-разному их «растянули» и, во втором случае, развернули.

Вся тема держится на одном образе: коллинеарные векторы — это стрелки вдоль одной дороги, различающиеся лишь длиной и, возможно, направлением хода. Отсюда естественно вытекают два способа проверки и простой рецепт построения. Соберём выводы в таблицу.

Держите в голове картинку двух полос одного шоссе — и коллинеарность перестанет быть абстракцией. Если один вектор получается из другого умножением на число, они идут по общей дороге; проверить это можно либо через пропорцию координат, либо через нулевое векторное произведение, а построить новый коллинеарный вектор — просто домножив исходный на подходящий множитель.