Как найти длину вектора: формула, вывод и разбор задач

Формула, с которой всё начинается

Когда вектор задан своими координатами на плоскости, его длину вычисляют одним коротким выражением. Если вектор ā имеет координаты (x, y), то

|ā| = √(x² + y²).

Смысл этой записи чисто геометрический. Координаты вектора — это, по сути, его смещения вдоль осей: одно по горизонтали, другое по вертикали. Вместе они образуют две стороны прямоугольного треугольника, а сам вектор становится его гипотенузой. Именно поэтому длина находится через сумму квадратов координат под знаком корня. Ниже мы аккуратно доберёмся до этой формулы с самого начала, а затем применим её к нескольким задачам.

Что стоит за словом «вектор»

Чтобы говорить о длине уверенно, полезно вспомнить, из каких понятий она вырастает.

У любого отрезка можно задать направление. Для этого одну граничную точку объявляют началом, а вторую — концом; направление тогда идёт от начала к концу. Такой «направленный» отрезок и есть вектор.

Вектором (или направленным отрезком) называют отрезок, у которого указано, какая из двух граничных точек служит началом, а какая — концом.

Записывают вектор двумя способами: либо парой заглавных букв, где первая обозначает начало, а вторая конец — AB̄ (A — начало, B — конец); либо одной строчной буквой — ā.

Длиной вектора ā называют длину того отрезка, на котором он построен. Обозначение — |ā|.

Понятие длины тесно связано с равенством векторов. Два вектора считают равными при выполнении сразу двух условий: они направлены в одну сторону и их длины совпадают. Одного лишь совпадения длин недостаточно — направление тоже должно быть общим.

Координаты вектора

Чтобы работать с векторами через числа, вводят систему координат. В ней любой вектор можно разложить по двум единичным векторам осей:

c̄ = m·i̅ + n·j̅,

где m и n — действительные числа, i̅ — единичный вектор оси Ox, а j̅ — единичный вектор оси Oy.

Числа m и n из этого разложения называют координатами вектора в выбранной системе координат и записывают коротко:

c̄ = (m, n).

Откуда берётся формула длины

Теперь выведем формулу шаг за шагом.

ЗАДАЧА (вывод)
Дан вектор ā с координатами (x, y). Требуется найти его длину.

Возьмём на плоскости декартову систему координат xOy и отложим от её начала вектор OĀ = ā. Опустим проекции точки A на обе оси: обозначим их A₁ на оси Ox и A₂ на оси Oy.

Поскольку OĀ выходит из начала координат, он является радиус-вектором точки A, а значит, точка A имеет те же координаты (x, y). Отсюда длины проекций равны:

[OA₁] = x, [OA₂] = y.

Отрезки OA₁ и OA₂ вместе с самим вектором OĀ образуют прямоугольный треугольник, где OĀ — гипотенуза. Применим теорему Пифагора:

|ā|² = [OA₁]² + [OA₂]²,

|ā|² = x² + y²,

|ā| = √(x² + y²).

Итог. Длина вектора, заданного координатами, равна квадратному корню из суммы квадратов этих координат.

Расстояние между двумя точками как следствие

Из формулы длины легко получить способ измерять расстояние между любыми двумя точками. Идея проста: две точки всегда можно соединить вектором, а координаты этого вектора получаются вычитанием координат начала из координат конца. Дальше остаётся посчитать длину полученного вектора.

Если точки заданы как (x′, y′) и (x″, y″), то расстояние между ними считают по формуле:

d = √((x′ − x″)² + (y′ − y″)²).

Это та же теорема Пифагора, только записанная сразу через разности координат.

Разбираем задачи

Найдём длину вектора с координатами (3, 4).

Подставим значения прямо в основную формулу:

|ā| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Длина вектора равна 5.

Найдём расстояние между точками X(−1, 5) и Y(7, 3).

Сначала определим координаты вектора XȲ. Для этого из координат конца Y вычтем координаты начала X:

XȲ = (7 − (−1), 3 − 5) = (8, −2).

Теперь применим формулу длины:

d = √(8² + (−2)²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17.

Ответ: 2√17.

Треугольник задан координатами вершин: (5, −9), (12, −2) и (4, 0). Найдём его периметр.

Периметр — это сумма длин трёх сторон, поэтому вычислим каждую сторону по формуле расстояния между точками.

Сторона между вершинами (5, −9) и (12, −2):

√((5 − 12)² + (−9 − (−2))²) = √((−7)² + (−7)²) = √98 = 7√2.

Сторона между вершинами (5, −9) и (4, 0):

√((5 − 4)² + (−9 − 0)²) = √(1² + (−9)²) = √82.

Сторона между вершинами (12, −2) и (4, 0):

√((12 − 4)² + (−2 − 0)²) = √(8² + (−2)²) = √68 = 2√17.

Сложив все три длины, получаем периметр:

Ответ: 7√2 + √82 + 2√17.