Деление натуральных чисел с остатком: правило, примеры решений

Многие числа нельзя разделить нацело, при делении часто присутствует остаток, отличный от нуля. В этой статье мы разберем способы деления натуральных чисел с остатком и подробно рассмотрим их применение на примерах.

Начнем с деления натуральных чисел с остатком в столбик, затем рассмотрим деление с помощью последовательного вычитания. Наконец, закончим разбором метода подбора неполного частного. Приведем алгоритм деления с остатком для наиболее общего случая и покажем, как проводить проверку результата деления натуральных чисел с остатком.

Деление натуральных чисел столбиком с остатком

Это один из самых удобных способов деления. Подробно он описан в отдельной статье, посвященной делению натуральных чисел столбиком. Здесь мы не будем приводить всю теорию заново, но сконцентрируемся именно на случае деления с остатком.

Приведем решение примера, так как понять суть метода проще всего на практике.

Деление чисел с остатком через последовательное вычитание

Чтобы найти неполное частное и остаток, можно прибегнуть к последовательному вычитанию делителя из делимого. Этот способ не всегда целесообразен, однако в некоторых случаях его очень удобно применять. Вновь обратимся к примеру.

Рассмотрим еще один пример. На этот раз, приведем только математические выкладки, не прибегая к аналогиям.

Метод последовательного вычитания непригоден, когда делимое меньше делителя. В таком случае можно сразу записать ответ: неполное частное равно нулю, а остаток равен самому делимому.

Если $a<b$, то $a÷b=0 \text{(остаток a)}$.

Например:

$$\begin{gathered} 12÷36=0 \text{(остаток 12)} \\ 47÷88=0 \text{(остаток 47) } \end{gathered}$$

Также касательно метода последовательного вычитания нужно отметить, что он удобен только в случаях, когда вся операция деления сводится к небольшому количеству вычитаний. Если делимое во много раз больше делителя, использование этого метода будет нецелесообразно и связано с множеством громоздких вычислений.

Метод подбора неполного частного

При делении натуральных чисел с остатком можно вычислить результат методом подбора неполного частного. Покажем, как можно вести процесс подбора, и на чем он основан.

Во-первых, определим, среди каких чисел нужно искать неполное частное. Из самого определения процесса деления понятно, что неполное частное равно нулю, либо является одним из натуральных чисел $1, 2, 3$ и т.д.

Во-вторых, установим связь между делителем, делимым, неполным частным и остатком. Рассмотрим уравнение $d=a-b·c$. Здесь $d$ - остаток от деления, $a$ - делимое, $b$ - делитель, $с$ - неполное частное. 

В-третьих, не будем забывать, что остаток всегда меньше делителя.

Теперь рассмотрим непосредственно процесс подбора. Делимое $a$ и делитель $b$ известны нам с самого начала. В качестве неполного частного $с$ будем последовательно принимать числа из ряда $0, 1, 2, 3$ и т.д. Применяя формулу $d=a-b·c$ и вычисляя полученное значение с делителем, закончим процесс, когда остаток $d$ будет меньше, чем делитель $b$. Число, взятое за $с$ на этом шаге и будет неполным частным. 

Разберем применение этого метода на примере.

Алгоритм деления натуральных чисел с остатком

Когда рассмотренные выше методы подбора неполного частного и последовательного вычитания требуют слишком громоздких вычислений, для деления с остатком применяется следующий метод. Рассмотрим алгоритм деления натурального числа $a$ на число $b$ с остатком.  

Вспомним, что в случае, когда $a<\mathrm{b,}$ неполное частное равно нулю, а остаток равен делимомому $a$. Мы будем рассматривать случай, когда $a>b$.

Сформулируем три вопроса и ответим на них:

1. Что там известно?
2. Что нам нужно найти?
3. Как мы будем это делать?

Изначально известными являются делимое и делитель: $a$ и $b$.

Найти нужно неполное частное $c$ и остаток $d$. 

Приведем формулу, которая задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. $a=b·c+d$. Именно это соотношение мы и возьмем за основу алгоритма деления натуральных чисел с остатком. Делимое $a$ нужно представить в виде суммы $a=b·c+d$, тогда мы найдем искомые величины.

Алгоритм деления, благодаря которому мы представим $a$ в виде суммы $a=b·c+d$ очень схож с  алгоритмом деления натуральных чисел без остатка. Приведем ниже шаги алгоритма на примере деления числа $899$ на $47$.

1. Первым делом смотрим на делимое и делитель. Выясняем и запоминаем, на сколько знаков число в записи делимого больше числа в делителе. В нашем конкретном примере в делимом три знака, а в делителе - два. 

$3-2=1$

Запомним это число.

2. Справа в записи делителя допишем число нулей, определенное разницей между количеством знаков в делимом и делителе. В нашем случае нужно дописать один нуль. Если записанное число больше делимого, то нужно из запомненного в первом пункте числа вычесть единицу. 

В нашем примере справа от $47$ дописываем нуль. Так как $470<899$, запомненное в предыдущем пункте число не нужно уменьшать на единицу. Таким образом, число $1$ так и остается у нас в памяти.

3. Справа к цифре $1$ приписываем количество нулей, равное числу, определенному в предыдущем пункте. В нашем примере, приписывая к единице один нуль, получаем число $10$. В результате данного действия мы получили рабочую единицу разряда, с которым будем работать дальше.

4. Будем последовательно умножать делитель на  $1, 2, 3..$ и т.д. единицы рабочего разряда, пока не получим число, которое больше или равно делимому. 

Рабочий разряд в нашем примере - десятки. После умножения делителя на одну единицу рабочего разряда, получаем $470$.

$470<899$, поэтому умножаем на еще одну единицу рабочего разряда. Получаем: $47·20=940; 940>899$.

Число, которое мы получили на предпоследнем шаге $(470=47·10)$ является первым из искомых слагаемых.

5. Найдем разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то переходим к нахождению второго слагаемого. 

Шаги $1-5$ повторяем, однако в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если снова получаем число, большее, чем делитель, снова по-кругу повторяем пункты  $1-5$, но уже с новым числом в качестве делимого. Продолжаем, пока полученное здесь число не будет меньше делителя. Переходим к завершающему этапу. Забегая вперед, скажем, что последнее полученное число и будет равно остатку.

Обратимся к примеру. $899-470=429, 429>47$. Повторяем шаги $1-5$ алгоритма с числом $429$, взятым в качестве делимого.

1. В записи числа $429$ на один знак больше, чем в записи числа $47$. Запоминаем разницу - число $1$.

2. В записи делимого справа дописываем один нуль. Получаем число $470$. Так как $470>429$, из запомненного в предыдущем пункте числа $1$ вычитаем $1$ и получаем $1-1=0$. Запоминаем $0$.

3. Так как в предыдущем пункте мы получили число $0$ и запомнили его, нам не нужно прибавлять ни одного нуля к единице справа. Таким образом, рабочим разрядом являются единицы

4. Последовательно умножим делитель $47$ на $1, 2, 3 ..$ и т.д. Не будем приводить подробные выкладки, а обратим внимание на конечный результат: $47·9=423<429$, $47·10=470>429$. Таким образом, второе искомое слагаемое - $47·9=423$.

5. Разность между $429$ и $423$ равна числу $6$. Так как $6<47$, это третье, и последнее искомое слагаемое. Перейдем к завершающему этапу алгоритма деления столбиком.

6. Целью предыдущих действий было представление делимого в виде суммы нескольких слагаемых. Для нашего примера мы получили $899=470+423+6$. Вспоминаем, что $470=47·10, 423=47·9$. Перепишем равенство:

$899=47·10+47·9+6$

Применим распределительное свойство умножения.

$899=47·10+47·9+6=47·(10+9)+6$

$899=47·19+6$.

Таким образом, мы представили делимое в виде уже данной ранее формулы $a=b·c+d$.

Искомые неизвестные:неполное частное $с=19$, остаток $d=6$.

Безусловно, при решении практических примеров нет нужды расписывать все действия так подробно. Покажем это:

Деление натуральных чисел с остатком. Проверка результата

Деление натуральных чисел с остатком, особенно при больших числах, довольно трудоемкий и громоздкий процесс. Допустить ошибку в вычислениях может каждый. Именно поэтому, проверка результата деления поможет понять, все ли вы сделали правильно. Проверка результата деления натуральных чисел с остатком выполняется в два этапа.

На первом этапе проверяем, не получился ли остаток больше делителя. Если нет, то все хорошо. Иначе, можно сделать вывод, что что-то пошло не так.

На втором этапе проверяется справедливость равенства $a=b·c+d$. Если равенство после подстановки значений оказывается верным, то и деление было выполнено без ошибок.