Бином Ньютона

Бином Ньютона - формула

Определение 1

С натуральным $n$ формула Бинома Ньютона принимает вид ${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} \cdot a^{n} + C_{n}^{1} \cdot a^{n - 1} \cdot b + C_{n}^{2} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . . + C_{n}^{n - 1} \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot b^{n}$ , где имеем, что $C_{n}^{k} = \frac{(n)!}{(k)! \cdot (n - k)!} = \frac{n (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot . . . \cdot (n - (k - 1))}{(k)!}$ - биномиальные коэффициенты, где есть $n$ по $k$ , $k = 0, 1, 2, \dots, n$ , а $"! "$ является знаком факториала.

В формуле сокращенного умножения ${(a + b)}^{2} = C_{2}^{0} \cdot a^{2} + C_{2}^{1} \cdot a^{1} \cdot b + C_{2}^{2} \cdot b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
просматривается формула бинома Ньютона, так как при $n = 2$ является его частным случаем.

Первая часть бинома называют разложением ${(a + b)}^{n}$ , а $С_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ - $(k + 1)$ -ым членом разложения, где $k = 0, 1, 2, \dots, n$ .

Коэффициенты бинома Ньютона, свойства биномиальных коэффициентов, треугольник Паскаля

Представление биномиальных коэффициентов для различных n осуществляется при помощи таблицы, которая имеет название арифметического треугольника Паскаля. Общий вид таблицы:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
$0$						$C_{0}^{0}$
$1$					$C_{1}^{0}$		$C_{1}^{1}$
$2$				$C_{2}^{0}$		$C_{2}^{1}$		$C_{2}^{2}$
$3$			$C_{3}^{0}$		$C_{3}^{1}$		$C_{3}^{2}$		$C_{3}^{3}$
$⋮$		$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$n$	$C_{n}^{0}$		$C_{n}^{1}$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$C_{n}^{n - 1}$		$C_{n}^{n}$

При натуральных $n$ такой треугольник Паскаля состоит из значений коэффициентов бинома:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
$0$								$1$
$1$							$1$		$1$
$2$						$1$		$2$		$1$
$3$					$1$		$3$		$3$		$1$
$4$				$1$		$4$		$6$		$4$		$1$
$5$			$1$		$5$		$10$		$10$		$5$		1
$⋮$		$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$n$	$C_{n}^{0}$		$C_{n}^{1}$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$C_{n}^{n - 1}$		$C_{n}^{n}$

Боковые стороны треугольника имеют значение единиц. Внутри располагаются числа, которые получаются при сложении двух чисел соседних сторон. Значения, которые выделены красным, получают как сумму четверки, а синим – шестерки. Правило применимо для всех внутренних чисел, которые входят в состав треугольника. Свойства коэффициентов объясняются при помощи бинома Ньютона.

Доказательство формулы бинома Ньютона

Имеются равенства, которые справедливы для коэффициентов бинома Ньютона:

коэффициента располагаются равноудалено от начала и конца, причем равны, что видно по формуле $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ , где $р = 0, 1, 2, \dots, n$ ;
$C_{n}^{p} = C_{n}^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}$ ;
биномиальные коэффициенты в сумме дают $2$ в степени показателя степени бинома, то есть $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + . . . + C_{n}^{n} = 2^{n}$ ;
при четном расположении биноминальных коэффициентов их сумма равняется сумме биномиальных коэффициентов, расположенных в нечетных местах.

Равенство вида ${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} \cdot a^{n} + C_{n}^{1} \cdot a^{n - 1} \cdot b + C_{n}^{2} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . . + C_{n}^{n - 1} \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot b^{n}$ считается справедливым. Докажем его существование.

Для этого необходимо применить метод математической индукции.

Для доказательства необходимо выполнить несколько пунктов:

Проверка справедливости разложения при $n = 3$ . Имеем, что
${(a + b)}^{3} = (a + b) (a + b) (a + b) = (a^{2} + a b + b a + b^{2}) (a + b) = = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) (a + b) = a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b + b^{3} = = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = C_{3}^{0} a^{3} + C_{3}^{1} a^{2} b + C_{3}^{2} a b^{2} + C_{3}^{3} b^{3}$
Если неравенство верно при $n - 1$ , тогда выражение вида ${(a + b)}^{n - 1} = C_{n - 1}^{0} \cdot a^{n - 1} \cdot C_{n - 1}^{1} \cdot a^{n - 2} \cdot b \cdot C_{n - 1}^{2} \cdot a^{n - 3} \cdot b^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 2} \cdot a \cdot b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1} \cdot b^{n - 1}$

считается справедливым.

Доказательство равенства ${(a + b)}^{n - 1} = C_{n - 1}^{0} \cdot a^{n - 1} \cdot C_{n - 1}^{1} \cdot a^{n - 2} \cdot b \cdot C_{n - 1}^{2} \cdot a^{n - 3} \cdot b^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 2} \cdot a \cdot b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1} \cdot b^{n - 1}$ , основываясь на 2 пункте.

Доказательство 1

Выражению

${(a + b)}^{n} = (a + b) {(a + b)}^{n - 1} = = (a + b) (C_{n - 1}^{0} \cdot a^{n - 1} \cdot C_{n - 1}^{1} \cdot a^{n - 2} \cdot b \cdot C_{n - 1}^{2} \cdot a^{n - 3} \cdot b^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 2} \cdot a \cdot b^{n - 2} + C_{n - 1}^{n - 1} \cdot b^{n - 1})$

Необходимо раскрыть скобки, тогда получим ${(a + b)}^{n} = C_{n - 1}^{0} \cdot a^{n} + C_{n - 1}^{1} \cdot a^{n - 1} \cdot b + C_{n - 1}^{2} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . . + C_{n - 1}^{n - 2} \cdot a^{2} \cdot b^{n - 2} + + C_{n - 1}^{n - 1} \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n - 1}^{0} \cdot a^{n - 1} \cdot b + C_{n - 1}^{1} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + C_{n - 1}^{2} \cdot a^{n - 3} \cdot b^{3} + . . . + C_{n - 1}^{n - 2} \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n - 1}^{n - 1} \cdot b^{n}$

Производим группировку слагаемых

${(a + b)}^{n} = = C_{n - 1}^{0} \cdot a^{n} + (C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{0}) \cdot a^{n - 1} \cdot b + (C_{n - 1}^{2} + C_{n - 1}^{1}) \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . . + + (C_{n - 1}^{n - 1} + C_{n - 1}^{n - 2}) \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n - 1}^{n - 1} \cdot b^{n}$

Имеем, что $C_{n - 1}^{0} = 1$ и $C_{n}^{0} = 1$ , тогда $C_{n - 1}^{0} = C_{n}^{0}$ . Если $C_{n - 1}^{n - 1} = 1$ и $C_{n}^{n} = 1$ , тогда $C_{n - 1}^{n - 1} = C_{n}^{n}$ . При применении свойства сочетаний $C_{n}^{p} + C_{n}^{p + 1} = C_{n + 1}^{p + 1}$ , получаем выражение вида

$C_{n - 1}^{1} + C_{n - 1}^{0} = C_{n}^{1} C_{n - 1}^{2} + C_{n - 1}^{1} = C_{n}^{2} ⋮ C_{n - 1}^{n - 1} + C_{n - 1}^{n - 2} = C_{n}^{n - 1}$

Произведем подстановку в полученное равенство. Получим, что

После чего можно переходить к биному Ньютона, тогда ${(a + b)}^{n} = C_{n}^{0} \cdot a^{n} + C_{n}^{1} \cdot a^{n - 1} \cdot b + C_{n}^{2} \cdot a^{n - 2} \cdot b^{2} + . . . + C_{n}^{n - 1} \cdot a \cdot b^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot b^{n}$ .

Формула бинома доказана.

Бином Ньютона - применение при решении примеров и задач

Для полного понятия использования формулы рассмотрим примеры.

Пример 1

Разложить выражение ${(a + b)}^{5}$ , используя формулу бинома Ньютона.

Решение

По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это $1, 5, 10, 10, 5, 1$ . То есть, получаем, что ${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$ является искомым разложением.

Ответ: ${(a + b)}^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

Пример 2

Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида ${(a + b)}^{10}$ .

Решение

По условию имеем, что $n = 10, k = 6 - 1 = 5$ . Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:

$C_{n}^{k} = C_{10}^{5} = \frac{(10)!}{(5)! \cdot (10 - 5)!} = \frac{(10)!}{(5)! \cdot (5)!} = = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{(5)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 252$

Ответ: $C_{n}^{k} = C_{10}^{5} = 252$

Ниже приведен пример, где используется бином для доказательства делимости выражения с заданным числом.

Пример 3

Доказать, что значение выражения $5^{n} + 28 \cdot n - 1$ , при $n$ , являющимся натуральным числом, делится на $16$ без остатка.

Решение

Необходимо представить выражение в виде $5^{n} = {(4 + 1)}^{n}$ и воспользоваться биномом Ньютона. Тогда получим, что

$5^{n} + 28 \cdot n - 1 = {(4 + 1)}^{n} + 28 \cdot n - 1 = = C_{n}^{0} \cdot 4^{n} + C_{n}^{1} \cdot 4^{n - 1} \cdot 1 + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 4^{2} \cdot 1^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} \cdot 4 \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n} + 28 \cdot n - 1 = = 4^{n} + C_{n}^{1} \cdot 4^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 4^{2} + n \cdot 4 + 1 + 28 \cdot n - 1 = = 4^{n} + C_{n}^{1} \cdot 4^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 4^{2} + 32 \cdot n = = 16 \cdot (4^{n - 2} + C_{n}^{1} \cdot 4^{n - 3} + . . . + C_{n}^{n - 2} + 2 \cdot n)$

Ответ: Исходя из полученного выражения, видно, что исходное выражение делится на $16$ .