Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.

Понятие внесения множителя под знак корня

Начнем с определения этого преобразования.

Определение 1

Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения $B \cdot \sqrt[n]{C},$ где $B$ и $C$ являются числами или выражениями, а $n$ – натуральным числом, в тождественно равное выражение $\sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ или $- \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для $n$ , равного $2$ , то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни $n$ -ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести $5 \cdot \sqrt{3}, - 0, 7 \cdot \sqrt[3]{x + 2 \cdot y}, (x - 2) \cdot \sqrt[4]{1 - x}$ и т.д.

В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: $\sqrt{5^{2} \cdot 3}, \sqrt[3]{{(- 0, 7)}^{3} \cdot (x + 2 \cdot y)}, - \sqrt[4]{{(x - 2)}^{4} \cdot (1 - x)}$ . Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.

После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда $- \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ следует заменять на $\sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ , а когда $\sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ на $- \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

Теоретические основы внесения множителя под корень

Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:

Определение 2

Выражение $A$ можно заменить на $\sqrt[n]{A^{n}}$ в случае нечетного $n$ . Если же $n$ является четным числом, то возможна замена на $\sqrt[n]{A^{n}}$ для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых $A$ не будет отрицательным (это условие можно записать как $A \geq 0$ ). То есть если $n$ – нечетное число, то $A = \{\begin{cases} \sqrt[n]{A^{n}}, A \geq 0, \\ - \sqrt[n]{A^{n}}, A < 0 \end{cases}$ .
Выражение $\sqrt[n]{A} \cdot \sqrt[n]{B}$ заменяется на $\sqrt[n]{A \cdot B}$ при условии, что $n$ – натуральное число.

Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:

при нечетном $n$ – $B \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$
при четном $n$ – $B \cdot \sqrt[n]{C} = \{\begin{cases} \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}, B \geq 0, \\ - \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}, B < 0 \end{cases}$

Допустим, B представляет из себя число, большее $0$ , либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда $B \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ . А если $B$ будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то $B \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.

Основные правила внесения множителя под знак радикала

Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

Определение 3

Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: $B \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

Определение 4

Если показателем корня является четное число, а $B$ является некоторым выражением с неотрицательным значением ( $x^{2}, 5 \cdot x^{4} + 3 \cdot y^{2} \cdot z^{2} + 7$ и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: $B \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

Определение 5

Если показателем корня будет четное число, но $B$ при этом будет числом, меньшим $0$ , или выражением с неположительными значениями (к примеру, $- 2 \cdot x^{2}, - (x^{2} + y^{2} + 1)$ и т.п.), то вносить множитель под корень нужно так: $B \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

Определение 6

Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:

решить неравенства $B \geq 0$ и $B < 0$ на области допустимых значений исходного выражения;
получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование $B \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ , а на втором $B \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n}} \cdot \sqrt[n]{C} = - \sqrt[n]{B^{n} \cdot C}$ .

Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.

Решения задач на внесение множителя под корень

Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.

Пример 1

Условие: преобразуйте выражения $2 \cdot \sqrt[5]{3}$ , $- 0, 25 \cdot \sqrt[3]{- 384 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2})}$ и $(x - 1) \cdot \sqrt[7]{\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{6}}}$ , внеся множитель под знак корня.

Решение

Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.

$2 \cdot \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{2^{5}} \cdot \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{2^{5} \cdot 3}$ . Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: $\sqrt[5]{2^{5} \cdot 3} = \sqrt[5]{32 \cdot 3} = \sqrt[5]{96}$ .
Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем: $- 0, 25 \cdot \sqrt[3]{- 384 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2})} = = - \frac{1}{4} \cdot \sqrt[3]{- 384 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2})} = = \sqrt[3]{{(- \frac{1}{4})}^{3}} \cdot \sqrt[3]{- 384 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2})} = = \sqrt[3]{(- \frac{1}{4}) \cdot (- 384 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2}))} = = \sqrt[3]{6 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2})} = \sqrt[3]{6 \cdot x \cdot y - 2 \cdot y^{2}}$
Здесь выполняем преобразования сразу:

$(x - 1) \cdot \sqrt[7]{\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{6}}} = \sqrt[7]{(x - 1)^{7}} \cdot \sqrt[7]{\frac{x + 1}{(x - 1)^{6}}} = = \sqrt[7]{(x - 1)^{7} \cdot \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{6}}}$

Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:

$\sqrt[7]{{(x - 1)}^{7} \cdot \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{6}}} = \sqrt[7]{\frac{{(x - 1)}^{7} \cdot (x + 1)}{(x - 1)^{6}}} = = \sqrt[7]{(x - 1) \cdot (x + 1)} = \sqrt[7]{x^{2} - 1}$

Ответ: $2 \cdot \sqrt[5]{3} = \sqrt[5]{96}$ , $- 0, 25 \cdot \sqrt[3]{- 384 \cdot (x \cdot y - \frac{1}{3} \cdot y^{2})} = \sqrt[3]{6 \cdot x \cdot y - 2 \cdot y^{2}}$ , $(x - 1) \cdot \sqrt[7]{\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{6}}} = \sqrt[7]{x^{2} - 1}$

Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.

Пример 2

Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях $5 \cdot \sqrt{3}, \frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{16 \cdot q} - \sqrt[4]{q}$ и $(x^{2} + 1) \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot (x^{2} + 1)}}$ , а потом по возможности упростите выражения.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат $\sqrt{5^{2} \cdot 3}$ . Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: $5 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5^{2} \cdot 3}$ . Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: $\sqrt{5^{2} \cdot 3} = \sqrt{75}$ .

Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше $0$ , значит, сразу переходим к преобразованиям:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{16 \cdot q} - \sqrt[4]{q} = \sqrt[4]{{(\frac{1}{2})}^{4}} \cdot \sqrt[4]{16 \cdot q} - \sqrt[4]{q} = = \sqrt[4]{{(\frac{1}{2})}^{4} \cdot 16 \cdot q} - \sqrt[4]{q} = \sqrt[4]{q} - \sqrt[4]{q} = 0$

В третьем случае очевидно, что $x^{2} + 1$ будет принимать значения больше $0$ при любых значениях переменной $x$ (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения $x^{2}$ и единицы мы получим положительное число), значит:

$(x^{2} + 1) \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot (x^{2} + 1)}} = \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot (x^{2} + 1)}} = = \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot \frac{1}{x \cdot (x^{2} + 1)}} = \sqrt{\frac{(x^{2} + 1)^{2}}{x \cdot (x^{2} + 1)}} = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x}}$

Ответ: $5 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{75}$ , $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[4]{16 \cdot q} - \sqrt[4]{q} = 0$ , $(x^{2} + 1) \cdot \sqrt{\frac{1}{x \cdot (x^{2} + 1)}} = \sqrt{\frac{x^{2} + 1}{x}}$ .

Пример 3

Условие: преобразуйте выражения $- 10^{2} \cdot \sqrt[4]{(0, 1)^{7} \cdot a}$ и $2 \cdot (- 3 - y^{2}) \cdot \sqrt{x}$ , внеся множитель под знак корня.

Решение

Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:

$- 10^{2} \cdot \sqrt[4]{{(0, 1)}^{7} \cdot a} = - \sqrt[4]{{(10^{2})}^{4}} \cdot \sqrt[4]{{(0, 1)}^{7} \cdot a} = = - \sqrt[4]{{(10^{2})}^{4} \cdot {(0, 1)}^{7} \cdot a} = - \sqrt[4]{10^{8} \cdot {(0, 1)}^{7} \cdot a} = - \sqrt[4]{10 \cdot a}$

Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение $2 \cdot (- 3 - y^{2})$ будет отрицательно при любом $y$ , поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:

$2 \cdot (- 3 - y^{2}) \cdot \sqrt{x} = - \sqrt{{(2 \cdot (- 3 - y^{2}))}^{2}} \cdot \sqrt{x} = = - \sqrt{{(2 \cdot (- 3 - y^{2}))}^{2} \cdot x} = - \sqrt{2^{2} \cdot {(- 3 - y^{2})}^{2} \cdot x} = = - \sqrt{4 \cdot (y^{4} + 6 \cdot y^{2} + 9) \cdot x} = - \sqrt{4 \cdot x \cdot y^{4} + 24 \cdot x \cdot y^{2} + 36 \cdot x}$

Ответ: $- 10^{2} \cdot \sqrt[4]{{(0, 1)}^{7} \cdot a} = - \sqrt[4]{10 \cdot a}$ , $2 \cdot (- 3 - y^{2}) \cdot \sqrt{x} = - \sqrt{4 \cdot x \cdot y^{4} + 24 \cdot x \cdot y^{2} + 36 \cdot x}$ .

Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.

Пример 4

Условие: даны выражения $(x - 2) \cdot \sqrt[4]{1 - x}$ и $\frac{x + 6}{x - 4} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2}$ . Выполните внесение множителя под знак корня.

Решение

Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в $(x - 2) \cdot \sqrt[4]{1 - x}$ есть четный показатель корня $(4)$ , а выражение $x - 2$ может принять разные значения (больше $0$ , меньше $0$ , равные $0$ ), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений $x$ будет определена условием $1 - x \geq 0$ . Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: $\{\begin{array}{l} x - 2 \geq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x \geq 2 \\ x \leq 1 \end{array} \Leftrightarrow \emptyset$ и $\{\begin{array}{l} x - 2 < 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x < 2 \\ x \geq 1 \end{array} \Leftrightarrow x \leq 1$ .

Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение $x - 2$ не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества $x \leq 1$ , совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:

$(x - 2) \cdot \sqrt[4]{1 - x} = - \sqrt[4]{{(x - 2)}^{4}} \cdot \sqrt[4]{1 - x} = = - \sqrt[4]{(x - 2)^{4} \cdot (1 - x)}$

Во втором выражении $\frac{x + 6}{x - 4} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2}$ имеется четный показатель корня, а выражение $\frac{x + 6}{x - 4}$ на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: $\{\begin{cases} \frac{x + 6}{x - 4} \geq 0 \\ x^{2} + x - 2 \geq 0 \end{cases}$ и $\{\begin{cases} \frac{x + 6}{x - 4} < 0 \\ x^{2} + x - 2 \geq 0 \end{cases}$ .

Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.

$\{\begin{cases} \frac{x + 6}{x - 4} \geq 0 \\ x^{2} + x - 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (- \infty, - 6] \cup [4, + \infty) \\ (- \infty, - 2] \cup [1, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow (- \infty, - 6] \cup [4, + \infty) \begin{array}{l} \frac{x + 6}{x - 4} < 0 \\ x^{2} + x - 2 \geq 0 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (- 6, 4) \\ (- \infty, - 2] \cup [1, + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow (- 6, - 2] \cup [1, 4)$

Следовательно, значение выражения $\frac{x + 6}{x - 4}$ будет неотрицательным при $x \in (- \infty, - 6] \cup [4, + \infty)$ , и $\frac{x + 6}{x - 4} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2} = \sqrt{{(\frac{x + 6}{x - 4})}^{2}} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2} = = \sqrt{{(\frac{x + 6}{x - 4})}^{2} \cdot (x^{2} + x - 2)}$

А отрицательным значение будет при $x \in (- 6, - 2] \cup [1, 4)$ , и $\frac{x + 6}{x - 4} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2} = - \sqrt{{(\frac{x + 6}{x - 4})}^{2}} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2} = = - \sqrt{{(\frac{x + 6}{x - 4})}^{2} \cdot (x^{2} + x - 2)}$

Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.

Ответ: $(x - 2) \cdot \sqrt[4]{1 - x} = - \sqrt[4]{(x - 2)^{4} \cdot (1 - x)}$ и

$\frac{x + 6}{x - 4} \cdot \sqrt{x^{2} + x - 2} = = \{\begin{cases} \sqrt{{(\frac{x + 6}{x - 4})}^{2} \cdot (x^{2} + x - 2)}, x \in (- \infty, - 6] \cup [4, + \infty) \\ - \sqrt{{(\frac{x + 6}{x - 4})}^{2} \cdot (x^{2} + x - 2)}, x \in (- 6, - 2] \cup [1, 4) \end{cases}$

В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. Также советуем вам прочесть материал, посвященный противоположному преобразованию – вынесению множителя из-под корня.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.