Общее представление о делении натуральных чисел с остатком

В данном материале мы разберем, как разделить одно натуральное число на другое с остатком. Для начала сформируем общее представление о таком действии, определимся с терминами и обозначениями, а потом посмотрим, какие задачи можно решить с его помощью. В последнем пункте попробуем объяснить, какие связи существуют между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления.

Общее представление о делении с остатком

Ранее мы указывали, что сам процесс деления сводится к разъединению одного множества на два или несколько. Чаще всего мы встречаемся с делением на равные части, то есть множества, получившиеся в результате, будут одинаковыми. Но так разделить возможно далеко не всегда. К примеру, $8$ конфет разделить поровну на троих детей не выйдет: у каждого будет по $2$ конфеты, а две останутся лишними. В данном случае мы имеем остаток $2$, то есть остались две конфеты. Этот пример отображает основной смысл деления с остатком. Запишем определение:

В чем состоит смысл деления с остатком?

В случае натуральных чисел деление с остатком имеет следующий смысл. Мы уже знаем, что понятие натурального числа тесно связано с количеством чего-либо. Допустим, у нас есть некое число предметов (обозначим его $a$), а после его деления образуется остаток, условно $d$. У нас остались числа $b$ и $c$. Есть два основных подхода к их обозначению:

1) если $b$ –количество элементов в каждом равном множестве, полученном после деления, то $c$ – это количество множеств, которое у нас получилось.

2) если  $b$ – это количество множеств, то $c$ – это число предметов в каждом из них.

Поясним нашу мысль на конкретных числах. Допустим, натуральное число $13$ было разделено на $4$. В итоге мы имеем два числа – $3$ и $1$. Мы можем рассмотреть эту ситуацию с двух сторон:

1) тринадцать предметов были сгруппированы по $4$. У нас получилось $3$ группы, а в исходном множестве остался всего $1$ предмет;

2) тринадцать предметов разложили по $4$группам. У нас получилось, что в каждой группе по $3$ предмета, а остаток равен $1$.

Если натуральное число $a$ всегда можно разделить с остатком на любое натуральное $b$, то можно выделить следующие ситуации:

1. A можно разделить на $b$ без остатка, то есть все предметы можно разделить на равные множества. При этом «лишних» у нас не останется, тогда $d$ будет равно $0$. Получается, что деление без остатка – это частный случай деления с остатком.

2. A может быть меньше $b$. Тогда ни одного требуемого множества мы из него составить не можем, и число $c$ будет равно нулю, а остаток равен $a$ (то есть числу предметов в исходном множестве).

3.  A может делиться на$b$ с остатком. Тогдазначения $a , b , c$ и $d$ будут натуральными числами.

Подводим итог:

Основные понятия, используемые при делении с остатком

Здесь мы определимся с основными терминами, которые будем использовать, если речь идет о делении с остатком.

То натуральное число, которое делят на части, принято называть делимым, а то, на которое делят – делителем. Получившиеся в результате два числа мы называем соответственно остатком и неполным частным.  К примеру, если мы разделим $8$ на $3$, то в итоге неполным частным будет $2$, и остатком тоже $2$.

Знак деления, используемый при решении примеров с остатком, аналогичен тому же знаку «разделить» (две точки, расположенные вертикально), что и при делении нацело. В некоторых источниках можно встретить обозначение «$÷$», смысл которого тот же самый. Так, числовое выражение $16 : 3$ означает деление одного натурального числа на другое с остатком.

Обозначим неполное частное буквой $с$, остаток – $d$, исходное число – $a$, а делитель – $b$. Тогда суть процесса деления в буквенном виде мы можем выразить как $a : b = c$ (ост. $d$).

Также можно записать это в виде схемы: делимое: делитель $=$ неполное частное (ост. остаток).

Из самого понятия о делении с остатком следует, что в любом случае остаток будет меньше делителя. Если бы он был равен ему или был нулевым, то это уже было бы деление нацело, поскольку у нас в итоге вышло бы несколько равных множеств.

Задачи, в которых используется деление с остатком

В результате процесса деления, описываемого в этой статье, всегда получаются два числа, одно из которых является остатком, а другое – неполным частным. Поэтому оно будет полезно для решения двух разных типов задач:

1. Нахождение количества необходимых равных множеств, которые можно составить из заданного количества предметов, или же количества предметов в равных множествах, полученных в результате деления.

Например:

Другой пример:

Вычислять мы можем не только количество предметов, но и изменения величин (массы, времени, длины и др.)

Например, на заводе произведено $6113$ л молока. Его нужно разлить в бутылки по $2$ л. Мы можем вычислить неполное частное и понять, сколько бутылок будет в итоге. Или же если на производство какого-то изделия тратится $3$ часа, то мы можем найти, сколько можно их выпустить за один восьмичасовой рабочий день.

2. Задачи второго типа направлены на вычисление количества предметов в исходном множестве, которые остались после деления. Это могут быть не только предметы, но и величины.

Например: 

Основные связи между понятиями делимого, делителя, неполного частного и остатка от деления

Для установления этих связей сразу разберем конкретный пример.

У нас есть некоторое множество предметов, обозначим его буквой $a$. Распределим его по кучкам, количество которых равно $b$. Всего в каждой кучке у нас будет c предметов. Остаток обозначим $d$. В буквенном виде это выражение можно записать как $a : b = c$ (ост. $d$). Теперь проанализируем связи, которые есть в этом равенстве.

Если у нас есть значения делителя, неполного частного и остатка, мы можем найти делимое. Если мы объединим все имеющиеся кучки и добавим к ним остаток, то получим множество из исходного количества предметов.

Учитывая смысл умножения и сложения натуральных чисел, мы можем записать это в виде равенства $c · b + d = a$. А наличие у умножения и сложения переместительных свойств позволяет нам переформулировать его как $a = b · c + d$. Получается следующее правило:

Верное равенство, полученное в итоге, будет полезно для решения задач с неизвестным делимым, то есть таких, где нужно найти исходное число предметов. Приведем пример:

Если нужно проверить верность результата действия деления с остатком, то для этого мы также проверяем справедливость равенства $a = b · c + d$.

Если нам известны значения делимого, делителя и неполного частного, то мы можем найти остаток.

Вспомним, что остаток от деления, который мы выше договорились обозначить буквой $d$, представляет собой число элементов, оставшееся в исходном множестве после его разделения на равные части. Значит, $d = a - b · c$. Записать это равенство мы можем благодаря свойствам умножения и вычитания натуральных чисел. Сформулируем определение:

У нас получилось буквенное выражение $d = a - b · c$, которое будет нам полезно при нахождении остатка от деления. Разберем такую задачу.

Мы также можем найти неполное частное, если знаем значение делимого, делителя и остатка. Исключим из исходного множества те элементы, которые образуют остаток. Благодаря свойствам вычитания натуральных чисел количество элементов в множестве мы теперь можем записать как $a - d$. После этого уже можно произвести деление без остатка, в результате которого получится $b$ множеств по c элементов в каждом. Мы получили равенство $( a - d ) : b = c$. Его также можно записать в виде $c = ( a - d ) : b$.

Осталось разобрать последний случай: как быть, если нужно найти делитель при известных значениях делимого, остатка и неполного частного? Начнем опять же с исключения остатка из делимого, то есть запишем $a - d$. Вспомнив смысл деления одного натурального числа на другое, запишем следующее равенство: $( a - d ) : c = b$. Также будет верно $b = ( a - d ) : c$. Сформулируем правило:

Возьмем пример решения такой задачи.