Общее представление о вычитании натуральных чисел

В рамках это материала мы разберемся с таким действием, как вычитание. Для начала мы попробуем дать общее представление о нем, пояснить сам смысл процесса вычитания. Потом введем и поясним необходимые обозначения и определения. В финальной части мы укажем, в решении каких задач нам может потребоваться вычитание.

Общий смысл процесса вычитания

Само по себе вычитание связано с разъединением некого множества на отдельные части. В этом смысле оно обратно сложению, которое, напротив, объединяет их (см. материал о сложении натуральных чисел).

Что конкретно это означает на практике?

Допустим, у нас есть некоторое количество шаров в вазе. Заберем из всей кучи один-два и положим в другое место. Тем самым мы совершили процесс вычитания, т.е. отняли от множества несколько предметов. То есть суть процесса вычитания состоит именно в исключении, отделении одних предметов от других.

Вернемся к сложению. Мы складываем одни числа с другими для того, чтобы получить сведения об их общем, суммарном количестве. А для чего мы вычитаем? Есть два подхода к пониманию сути этого процесса. От того, какой мы используем, будет зависеть смысл, придаваемый вычитаемому числу.

Для натуральных чисел результат вычитания говорит нам:

1) о том, сколько предметов останется, если убрать из их множества некое определенное количество;

2) о том, сколько нужно убрать предметов из заданного множества, чтобы получить требуемое количество.

Разберем сначала первый случай.

А во втором случае мы узнаем:

В этом смысле процесс вычитания натуральных чисел имеет смысл только тогда, когда вычитаемое число меньше, чем уменьшаемое. В самом деле, как можно убрать больше, чем у нас уже есть? В дальнейшем мы останемся в рамках этого ограничения, пока говорим о действиях с натуральными числами.

В результате вычитания у нас, разумеется, может получиться не только другое натуральное число, но и нуль, который говорит о полном отсутствии предметов. Это происходит тогда, когда уменьшаемое и вычитаемое равны. Получается, если мы уберем все предметы, которые у нас есть, то на столе не останется ни одного.

Основные понятия, связанные с вычитанием

Здесь мы укажем общепринятые обозначения и поясним их.

Для того чтобы указать на письме, что речь идет именно о процессе вычитания, традиционно используется знак минуса. Порядок записи примера таков: сначала уменьшаемое (любое натуральное число), потом минус, а затем вычитаемое (любое натуральное число, которое меньше первого). Примерами таких записей могут быть $10-4, 6-3$ и т.д. Их принято называть числовыми выражениями.

Выше мы уже использовали термины "уменьшаемое" и "вычитаемое". Легко понять, что они означают:

Полученное в результате вычитания число принято называть разностью. Также разностью можно назвать и само числовое выражение, состоящее из двух натуральных чисел с минусом. Например, для $8-5$ восьмерка – это уменьшаемое, пять – вычитаемое, а тройка – разность, и само выражение $8-5$ – это тоже разность.

Когда требуется определить, что получится в результате вычитания одного числа из другого, используются выражения: "вычислить разность", "найти разность", "вычесть одно число из другого", "отнять от одного числа другое".

В целом можно сказать, что все три компонента (уменьшаемое, вычитаемое и разность ) вместе образуют верное равенство. Например, натуральное число $7$ есть результат вычитания $11$ из $18$. Это можно записать в виде $18-11=7$ (о знаке равенства мы говорили отдельно). Как правильно прочитать эту запись? "От восемнадцати отнять одиннадцать равно семь", "из восемнадцати вычесть одиннадцать равно семь" или "восемнадцать минус одиннадцать равно семь".

Таким образом, весь процесс вычитания мы можем представить так: уменьшаемое минус вычитаемое равно разность.

Для решения каких задач нужно знать вычитание

С помощью вычитания можно решить широкий спектр задач. Перечислим их:

1. Найти количество предметов, которое получится после разбиения всего их множества на два других. Примером такой задачи может стать задача с шарами на столе, которую мы приводили в пункте о смысле процесса вычитания. Задачи с нахождением числа предметов, которое надо убрать из имеющегося множества, так же относятся в этому виду.

2. Решить задачи, в которых изменяются значения длины, объема, массы, времени и других измерений.

Пример:

Или так:

3. Узнать разницу между количеством предметов, которые входят в два разных множества, или разницу между двумя любыми величинами (скоростями, массами и др.)

Возьмем пример с более сложными числами: