Перевод корней в степени и обратно: объяснение, примеры

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням  и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби - $a^{\frac{m}{n}}$. Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени! 

В соответствии с определением, степень $a^{\frac{m}{n}}$ можно представить в виде корня $\sqrt[n]{a^m}$.

Например: $3^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{3^2}, {\left(1\frac{2}{3}\right)}^{-\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{{\left(1\frac{2}{3}\right)}^{-3}}$.

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ;   m ∈ ℤ ;   n ∈ ℕ .

Так, выражение $-8^{\frac{1}{3}}$ нельзя представить в виде $\sqrt[3]{-8^1}$, так как запись $-8^{\frac{1}{3}}$ попросту не имеет смысла - степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень $\sqrt[3]{-8^1}$ имеет смысл.

Переход от  степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее - ОДЗ) исходных выражений в основании степени. 

Например, выражение ${\left(x^2+\frac{2}{x+1}-4\right)}^{\frac{1}{2}}$ можно представить в виде квадратного корня $\sqrt[]{\left(x^2+\frac{2}{x+1}-4\right)}$.Выражение в степени ${\left(x^2+x·y·z-z^3\right)}^{-\frac{7}{3}}$ переходит в выражение $\sqrt[3]{{\left(x^2+x·y·z-z^3\right)}^{-7}}$ для всех $x, y, z$ из ОДЗ данного выражения.

Как представить корень в виде степени?

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$

Опять же, переход очевиден для положительных чисел $a$. Например, $\sqrt[4]{7^6}=7^{\frac{6}{4}}$, или$\sqrt[3]{{\left(\frac{2}{7}\right)}^{-5}}={\left(\frac{2}{7}\right)}^{-\frac{5}{3}}$.

Для отрицательных $a$ корни имеют смысл. Например $\sqrt[6]{{\left(-4\right)}^2}$, $\sqrt[3]{-2}$. Однако, представить эти корни в виде степеней  ${\left(-4\right)}^{\frac{2}{6}}$ и ${\left(-2\right)}^{\frac{1}{3}}$ нельзя.  

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования  выражения $\sqrt[6]{{\left(-4\right)}^2}$.

$\sqrt[6]{{\left(-4\right)}^2}=\sqrt[6]{{\left(-1\right)}^2·4^2}=\sqrt[6]{4^2}$.

Так как $4>0$, можно записать: 

$\sqrt[6]{4^2}=4^{\frac{2}{6}}$.

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

$\sqrt[2m+1]{-a}=-\sqrt[2m+1]{a}$.

Тогда выражение $\sqrt[3]{-2}$ примет вид:

$\sqrt[3]{-2}=-\sqrt[3]{2}=-2^{\frac{1}{3}}$.

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании. 

Обозначим буквой $A$ некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением $\sqrt[n]{A^m}$ в виде $A^{\frac{m}{n}}$. Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение $\sqrt[3]{{\left(х-3\right)}^2}$, основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде ${\left(x-3\right)}^{\frac{2}{3}}$. Такая замена возможна только при $x-3\ge 0$, а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных $a$ формула $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида $\sqrt[n]{A^m}=A^{\frac{m}{n}}$ является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы $\sqrt[n]{A^m}=A^{\frac{m}{n}}$ нередко возникают ошибки. 

Чтобы правильно перейти от корня $\sqrt[n]{A^m}$ к степени $A^{\frac{m}{n}}$, необходимо соблюдать несколько пунктов:

• В случае, если число $m$ - целое и нечетное, а $n$ - натуральное и четное, то формула  $\sqrt[n]{A^m}=A^{\frac{m}{n}}$ справедлива на всей ОДЗ переменных.
• Если $m$ - целое и нечетное, а $n$ - натуральное и нечетное,то выражение $\sqrt[n]{A^m}$ можно заменить:
   - на $A^{\frac{m}{n}}$ для всех значений переменных, при которых $A\ge 0$;
   - на $-\left(-A^{\frac{m}{n}}\right)$ для  для всех значений переменных, при которых $A<0$;
• Если  $m$ - целое и четное, а $n$ - любое натуральное число, то $\sqrt[n]{A^m}$ можно заменить на ${\left|A\right|}^{\frac{m}{n}}$.

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению $\sqrt[3]{{\left(х-3\right)}^2}$. Здесь $m=2$ - целое и четное число, а $n=3$ - натуральное число. Значит, выражение $\sqrt[3]{{\left(х-3\right)}^2}$ правильно будет записать в виде:

$\sqrt[3]{{\left(х-3\right)}^2}={\left|x-3\right|}^{\frac{2}{3}}$.

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число $m$ - целое и нечетное, а $n$ - натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении $\sqrt[n]{A^m}$ значение $A$ положительно или неотрицательно (при $m>0$). Именно поэтому  $\sqrt[n]{A^m}=A^{\frac{m}{n}}$.

Во втором варианте, когда  $m$ - целое, положительное и нечетное, а $n$ - натуральное и нечетное, значения $\sqrt[n]{A^m}$ разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых $A$ неотрицательно, $\sqrt[n]{A^m}=\sqrt[n]{{\left|A\right|}^m}={\left|A\right|}^{\frac{m}{n}}$. Для переменных, при которых $A$ отрицательно, получаем $\sqrt[n]{A^m}=\sqrt[n]{{\left(-\left|A\right|\right)}^m}=\sqrt[n]{{\left(-1\right)}^m·{\left|A\right|}^m}=\sqrt[n]{-{\left|A\right|}^m}=-\sqrt[n]{{\left|A\right|}^m}=-{\left|A\right|}^{\frac{m}{n}}$.

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда $m$ - целое и четное, а $n$ - любое натуральное число. Если значение $A$положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ $\sqrt[n]{A^m}=\sqrt[n]{{\left|A\right|}^m}={\left|A\right|}^{\frac{m}{n}}$. Для отрицательных $A$ получаем $\sqrt[n]{A^m}=\sqrt[n]{{\left(-\left|A\right|\right)}^m}=\sqrt[n]{{\left(-1\right)}^m·{\left|A\right|}^m}=\sqrt[n]{{\left|A\right|}^m}={\left|A\right|}^{\frac{m}{n}}$.

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать $\sqrt[n]{A^m}={\left|A\right|}^{\frac{m}{n}}$.