Противоположные числа, определение, примеры

9 сентября 2023
6 минут
2 084

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В рамках этой статьи мы попробуем разобраться, что же такое противоположные числа. Мы поясним, что вообще они из себя представляют, покажем, какие именно обозначения используют для них, и разберем несколько примеров. В последней части материала мы перечислим основные свойства противоположных чисел.

Что такое противоположные числа

Чтобы объяснить само понятие противоположности, нам потребуется для начала изобразить координатную прямую. Возьмем на ней точку $M$ (только не в самом начале отсчета). Ее расстояние до нуля будет равно некоторому количеству единичных отрезков, которые можно, в свою очередь, разбить на десятые и сотые доли. Если же мы отмерим такое же расстояние от начала отсчета в направлении, противоположном тому, на котором расположена $M$ , то мы сможем попасть в другую схожую точку. Назовем ее $N$ . Например, от $M$ до нуля – расстояние в $2, 4$ единичных отрезка, и от $N$ до нуля – тоже. Взгляните на рисунок:

Что такое противоположные числа

Вспомним, что каждой точке на координатной прямой можно поставить в соответствие только одно действительное число. В таком случае нашим точкам $M$ и $N$ соответствуют определенные числа, которые и называются противоположными. Каждое число имеет противоположное число, за исключением нуля. Поскольку это начало отсчета, то его считают противоположным самому себе.

Запишем определение, что же такое противоположные числа:

Определение 1

Противоположными называются числа, которым соответствуют такие точки на координатной прямой, в которые мы попадем, если отметим одно и то же расстояние от начала отсчета в разных направлениях (положительном и отрицательном). Нуль находится в начале отсчета и противоположен сам себе.

Как обозначаются противоположные числа

В этом пункте мы введем основные обозначения для таких чисел. Если у нас есть некое число и нам нужно записать противоположное ему, то для этого используем минус.

Пример 1

Допустим, наше число равно $a$ , следовательно, ему противоположно $- a$ (минус $a$ ). Точно таким же образом для $0, 26$ противоположно $- 0, 26$ , а для $145$ это будет $- 145$ . Если исходное число само является отрицательным, например, $- 9$ , то противоположное мы записываем как $- (- 9)$ .

Какие еще примеры противоположных чисел можно привести? Возьмем целые числа: $12$ и $- 12$ . Противоположные рациональные числа – это $3 \frac{2}{11}$ и $- 3 \frac{2}{11}$ , а также $8, 128$ и $- 8, 128$ , $0, (18901)$ и $- 0, (18901)$ и др. Противоположными могут быть и иррациональные числа, например, значения числовых выражений $\sqrt{2} + 1$ и $- (\sqrt{2} + 1)$ .

Противоположными иррациональными числами также будут $e$ и $- e$ .

Основные свойства противоположных чисел

Таким числам присущи определенные свойства. Ниже мы дадим их список с пояснениями.

Определение 2

1. Если исходное число положительно, то противоположное ему будет отрицательно.

Это утверждение очевидно и следует из графика выше: такие числа находятся по разные стороны отсчета на координатной прямой. Если вы позабыли понятия положительных и отрицательных чисел, посмотрите материал, что мы публиковали раньше.

Из этого правила можно вывести другое очень важное утверждение. В буквенном виде его запись выглядит следующим образом: для любого положительного a будет верно $- (- a) = a$ . Покажем на примере, почему это важно.

Возьмем число $5$ . С помощью координатной прямой можно увидеть, что ему противоположно число $- 5$ , и наоборот. Используя обозначения, которые мы указали выше, запишем число, противоположное $- 5$ как $- (- 5)$ . Получается, что $- (- 5) = 5$ . Отсюда вывод: противоположные числа отличаются друг от друга лишь наличием знака минус.

2. Следующее свойство принято называть свойством симметричности. Его также можно вывести из самого определения противоположных чисел. Оно звучит так:

Определение 3

Если некоторое число $a$ является противоположным числу $b$ , тогда и $b$ является противоположным числу $a$ .

Очевидно, что в дополнительных доказательствах это утверждение не нуждается.

3. Третье свойство противоположных чисел гласит:

Определение 4

Каждое действительное число имеет только одно противоположное число.

Это утверждение вытекает из того, что точкам координатной прямой не может соответствовать много чисел сразу.

Определение 5

4. Модули противоположных чисел равны.

Это следует из определения модуля. Логично, что точки на прямой, соответствующие любым противоположным числам, находятся на одном и то же расстоянии от точки отсчета.

Определение 6

5. Если мы сложим противоположные числа, то получим $0$ .

В буквенном виде это утверждение выглядит как $a + (- a) = 0$ .

Пример 2

Приведем примеры таких вычислений:

$890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0$ $\sqrt{7} + (- \sqrt{7}) = 0$

Как видно, это правило работает для всех чисел – целых, рациональных, иррациональных и др.