Сложение чисел с разными знаками: правило, примеры

23 июля 2023
5 минут
797

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этом материале мы расскажем, как правильно выполнять сложение отрицательного и положительного числа. Сначала мы приведем основное правило такого сложения, а потом покажем, как оно применяется при решении задач.

Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел

Мы уже говорили ранее, что положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное – как убыток. Чтобы узнать величину дохода и расхода, надо смотреть на модули этих чисел. Если в итоге окажется, что наши расходы превышают доходы, то после их взаимного учета мы останемся должны, а если наоборот, то мы останемся в плюсе. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.

Используя приведенные выше рассуждения, можно вывести основное правило сложения чисел с разными знаками.

Определение 1

Для сложения положительного числа с отрицательным необходимо найти их модули и выполнить сравнение. Если значения окажутся равны, то мы имеем два слагаемых, которые являются противоположными числами, и их сумма будет нулевой. Если же они не равны, то нам надо учесть, что результат будет иметь тот же знак, что и большее число.

Таким образом, сложение в данном случае сводится к вычитанию из большего числа меньшего. Итог этого действия может быть разным: мы можем получить как положительное, так и отрицательное число. Нулевой результат тоже возможен.

Это правило распространяется на целые, рациональные и действительные числа.

Задачи на сложение положительного числа с отрицательным

Разберем, как применять на практике правило, озвученное выше. Возьмем для начала простой пример.

Пример 1

Вычислите сумму $2 + (- 5)$ .

Решение

Выполним последовательно шаги, которые мы изучили до этого. Найдем для начала модули исходных чисел, которые будут равны $2$ и $5$ . Больший модуль – $5$ , поэтому запоминаем минус. Далее вычитаем из большего модуля меньший и получаем: $5 - 2 = 3$ .

Ответ: $(- 5) + 2 = - 3$ .

Если в условиях задачи стоят рациональные числа с разными знаками, не являющиеся при этом целыми, то для удобства расчетов нужно представить их в виде десятичных или обыкновенных дробей. Возьмем такую задачу и решим ее.

Пример 2

Вычислите, сколько будет $2 \frac{1}{8} + (- 1, 25)$ .

Решение

Первым делом переведем смешанное число в обыкновенную дробь. Если вы не помните, как это делается, перечитайте соответствующую статью.

$2 \frac{1}{8} = \frac{17}{8}$

Десятичную дробь мы тоже представим в виде обыкновенной: $- 1, 25 = - \frac{125}{100} = - \frac{5}{4}$ .

После этого уже можно переходить к вычислению модулей и подсчету результата. Найдем модули: они будут равны $\frac{17}{8}$ и $\frac{5}{4}$ соответственно. Получившиеся дроби приведем к общему знаменателю и получим $\frac{17}{8}$ и $\frac{10}{8}$ .

Следующим шагом будет сравнение обыкновенных дробей. Поскольку числитель первой дроби больше, то $\frac{17}{8} > \frac{10}{8}$ . Если слагаемое со знаком плюс у нас больше, то нам надо запомнить, что результат будет положительным.

Далее вычтем из большего модуля меньший (см. материал о том, как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями):

$\frac{17}{8} - \frac{10}{8} = \frac{17 - 10}{8} = \frac{7}{8}$

Мы уже отмечали ранее, что результат у нас будет со знаком плюс: $+ \frac{7}{8}$ . Так как плюс писать необязательно, при записи ответа обойдемся без него.

Запишем весь ход решения:

$2 \frac{1}{8} + (- 1, 25) = \frac{17}{8} + (- \frac{5}{4}) = \frac{17}{8} + (- \frac{10}{8}) = \frac{17}{8} - \frac{10}{8} = \frac{7}{8}$

Ответ: $2 \frac{1}{8} + (- 1, 25) = \frac{7}{8}$ .

Пример 3

Найдите, чему будет равна сумма $\sqrt{14}$ и $- \sqrt{14}$ .

Решение

Мы имеем два одинаковых слагаемых с разными знаками. Значит, эти числа являются противоположными друг другу, следовательно, их сумма будет равна $0$ .

Ответ: $\sqrt{14} + (- \sqrt{14}) = 0$

В конце статьи добавим, что результат сложения действительных отрицательных чисел с положительными зачастую лучше записывать в виде числового выражения с корнями, степенями или логарифмами, а не в виде бесконечной десятичной дроби. Так, если мы сложим числа $n$ и $- 3$ , то ответ будет равен $n - 3$ . Считать окончательный результат нужно далеко не всегда, и можно обойтись приблизительными расчетами. Более подробно об этом мы напишем в статье об основных действиях с действительными числами.