Сократимые и несократимые дроби: понятие и примеры

Сократимые и несократимые дроби: определение, примеры

Эксперт Ирина Мальцевская - преподаватель математики и информатики

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья посвящена рассмотрению сократимых и несократимых дробей. Приведем примеры, дадим определения сократимых и несократимых дробей. Выясним, как определить, можно ли сократить конкретную дробь.

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби вида $\frac{a}{b}$ можно разделить на сократимые и несократимые. Разделение объясняется соответственно наличием или отсутствием общих для числителя и знаменателя дроби делителей. Приведем определения.

Определение. Сократимая дробь

Обыкновенная сократимая дробь - такая дробь, для числителя и знаменателя которой существует положительный общий делитель, отличный от единицы.

Определение. Несократимая дробь

Обыкновенная несократимая дробь - такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть имеют единственный общий положительный делитель, равный единице.

Приведем примеры сократимых и несократимых дробей.

Примеры сократимых дробей

Дробь $\frac{15}{45}$ - сократимая. Действительно, как числитель, так и знаменатель можно разделить на 5. Другими словами, числитель и знаменатель этой дроби имеют общий делитель.

Другие примеры сократимых дробей - $\frac{12}{12}, \frac{3}{66}, \frac{8}{32}$

Примеры несократимых дробей

Дробь $\frac{7}{12}$ - несократимая, так как ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Другие несократимые дроби - $\frac{9}{14}, \frac{11}{12}, \frac{8}{33}$ .

Проверка дроби на сократимость

Часто с первого взгляда на конкретную дробь сложно сказать, является она сократимой или несократимой. Конечно, исключения составляют простые случаи, когда по признакам делимости сразу можно выявить общий делитель числителя и знаменателя.

К примеру, по признаку делимости на $10$ сразу можно сказать, что дробь $\frac{470}{540}$ сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный $10$ . Так же, дробь $\frac{384}{428}$ является сократимой по признаку делимости на 2.

Но как быть с более сложными случаями, когда признаки делимости не могут помочь? Например, когда нужно узнать, сократима ли дробь $\frac{288329}{342439}$ . Для таких случаев существует общий метод проверки дроби на сократимость.

Правило проверки дроби на сократимость

Вычисляем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

Если НОД равен единице, то дробь является несократимой.
Если НОД отличен от единицы, то дробь сократима.

Посмотрим на практическое применение этого правила.

Пример. Сократима ли дробь?

Выясним, сократима ли обыкновенная дробь $\frac{495}{539}$ . Для этого вычислим НОД числителя и знаменателя, применяя алгоритм Евклида.

$539 = 495 \cdot 1 + 44 495 = 44 \cdot 11 + 11 44 = 11 \cdot 4$

Отсюда $Н О Д_{(495, 539)} = 11$ . Следовательно, числитель и знаменатель дроби не являются взаимно простыми числами, и дробь сократима.

В математических выкладках, если при вычислениях получилась сократимая дробь, принято производить ее сокращение и записывать в виде несократимой дроби.