Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Сократимые и несократимые дроби: определение, примеры
- 13 февраля 2024
- 4 минуты
- 7 190
Данная статья посвящена рассмотрению сократимых и несократимых дробей. Приведем примеры, дадим определения сократимых и несократимых дробей. Выясним, как определить, можно ли сократить конкретную дробь.
Сократимые и несократимые дроби
Все обыкновенные дроби вида можно разделить на сократимые и несократимые. Разделение объясняется соответственно наличием или отсутствием общих для числителя и знаменателя дроби делителей. Приведем определения.
Обыкновенная сократимая дробь - такая дробь, для числителя и знаменателя которой существует положительный общий делитель, отличный от единицы.
Обыкновенная несократимая дробь - такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть имеют единственный общий положительный делитель, равный единице.
Приведем примеры сократимых и несократимых дробей.
Дробь - сократимая. Действительно, как числитель, так и знаменатель можно разделить на 5. Другими словами, числитель и знаменатель этой дроби имеют общий делитель.
Другие примеры сократимых дробей -
Дробь - несократимая, так как ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.
Другие несократимые дроби - .
Проверка дроби на сократимость
Часто с первого взгляда на конкретную дробь сложно сказать, является она сократимой или несократимой. Конечно, исключения составляют простые случаи, когда по признакам делимости сразу можно выявить общий делитель числителя и знаменателя.
К примеру, по признаку делимости на сразу можно сказать, что дробь сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный . Так же, дробь является сократимой по признаку делимости на 2.
Но как быть с более сложными случаями, когда признаки делимости не могут помочь? Например, когда нужно узнать, сократима ли дробь . Для таких случаев существует общий метод проверки дроби на сократимость.
Вычисляем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.
- Если НОД равен единице, то дробь является несократимой.
- Если НОД отличен от единицы, то дробь сократима.
Посмотрим на практическое применение этого правила.
Выясним, сократима ли обыкновенная дробь . Для этого вычислим НОД числителя и знаменателя, применяя алгоритм Евклида.
Отсюда . Следовательно, числитель и знаменатель дроби не являются взаимно простыми числами, и дробь сократима.
В математических выкладках, если при вычислениях получилась сократимая дробь, принято производить ее сокращение и записывать в виде несократимой дроби.
