Сравнение конечных и бесконечных десятичных дробей: правила, примеры, решения

3 декабря 2023
14 минут
2 540

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной теме будет рассмотрена как общая схема сравнения десятичных дробей, так и детальный разбор принципа сравнения конечных и бесконечных дробей. Теоретическую часть закрепим решением типичных задач. Также разберем на примерах сравнение десятичных дробей с натуральными или смешанными числами, и обыкновенными дробями.

Внесем уточнение: в теории ниже будет рассмотрено сравнение только положительных десятичных дробей.

Общий принцип сравнения десятичных дробей

Для каждой конечной десятичной и бесконечной периодической десятичной дробей существуют соответствующие им некоторые обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение конечных и бесконечных периодических дробей возможно производить как сравнение соответствующих им обыкновенных дробей. Собственно, это утверждение и является общим принципом сравнения десятичных периодических дробей.

На основе общего принципа формулируются правила сравнения десятичных дробей, придерживаясь которых возможно не осуществлять перевод сравниваемых десятичных дробей в обыкновенные.

То же самое можно сказать и про случаи, когда происходит сравнение десятичной периодической дроби с натуральными числами или смешанными числами, обыкновенными дробями – заданные числа необходимо заменить соответствующими им обыкновенными дробями.

Если же речь идет о сравнении бесконечных непериодических дробей, то его обычно сводят к сравнению конечных десятичных дробей. Для рассмотрения берется такое количество знаков сравниваемых бесконечных непериодических десятичных дробей, которое даст возможность получить результат сравнения.

Равные и неравные десятичные дроби

Определение 1

Равные десятичные дроби – это две конечные десятичные дроби, у которых равны соответствующие им обыкновенные дроби. В противном случае десятичные дроби являются неравными.

Опираясь на данное определение, просто обосновать такое утверждение: если в конце заданной десятичной дроби подписать или, наоборот, отбросить несколько цифр $0$ , то получится равная ей десятичная дробь. К примеру: $0, 5 = 0, 50 = 0, 500 = \dots .$ Или: $130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130$ . По сути, дописать или отбросить нуль в конце дроби справа - значит умножить или разделить на 10 числитель и знаменатель соответствующей обыкновенной дроби. Добавим к сказанному основное свойство дробей (умножая или деля числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, получаем дробь, равную исходной) и имеем доказательство вышеуказанного утверждения.

К примеру, десятичной дроби $0, 7$ соответствует обыкновенная дробь $\frac{7}{10}$ . Дописав нуль справа, получим десятичную дробь $0, 70$ , которой соответствует обыкновенная дробь $\frac{70}{100}, \frac{7 \cdot 70}{100 : 10}$ . Т.е.: $0, 7 = 0, 70$ . И наоборот: отбрасывая в десятичной дроби $0, 70$ нуль справа, получаем дробь $0, 7$ – таким образом, от десятичной дроби $\frac{70}{100}$ мы переходим к дроби $\frac{7}{10}$ , но $\frac{7}{10} = \frac{70 : 10}{100 : 10}$ Тогда: $0, 70 = 0, 7$ .

Теперь рассмотрим содержание понятия равных и неравных бесконечных периодических десятичных дробей.

Определение 2

Равные бесконечные периодические дроби – это бесконечные периодические дроби, у которых равны отвечающие им обыкновенные дроби. Если же соответствующие им обыкновенные дроби не равны, то заданные для сравнения периодические дроби также являются неравными.

Данное определение позволяет сделать следующие выводы:

- если записи заданных периодических десятичных дробей совпадают, то такие дроби являются равными. К примеру, периодические десятичные дроби $0, 21 (5423)$ и $0, 21 (5423)$ равны;

- если в заданных десятичных периодических дробях периоды начинаются с одной и той же позиции, первая дробь имеет период $0$ , а вторая – $9$ ; значение разряда, предшествующего периоду $0$ , на единицу больше, чем значение разряда, предшествующего периоду $9$ , то такие бесконечные периодические десятичные дроби равны. К примеру, равными являются периодические дроби $91, 3 (0)$ и $91, 2 (9)$ , а также дроби: $135, (0)$ и $134, (9)$ ;

- две любые другие периодические дроби не являются равными. Например: $8, 0 (3)$ и $6, (32)$ ; $0, (42)$ и $0, (131)$ и т.д.

Осталось рассмотреть равные и неравные бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби представляют из себя иррациональные числа, и их невозможно перевести в обыкновенные дроби. Следовательно, сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей не сводится к сравнению обыкновенных.

Определение 3

Равные бесконечные непериодические десятичные дроби – это непериодические десятичные дроби, записи которых полностью совпадают.

Логичным будет вопрос: как сравнить записи, если увидеть «законченную» запись таких дробей невозможно? Сравнивая бесконечные непериодические десятичные дроби, нужно рассматривать только некоторое конечное число знаков заданных для сравнения дробей так, чтобы это позволило сделать вывод. Т.е. по сути сравнение бесконечных непериодических десятичных дробей заключается в сравнении конечных десятичных дробей.

Такой подход дает возможность утверждать о равенстве бесконечных непериодических дробей только с точностью до рассматриваемого разряда. Например, дроби $6, 73451$ … и $6, 73451$ … равны с точностью до стотысячных, т.к. равными являются конечные десятичные дроби $6, 73451$ и $6, 7345$ . Дроби $20, 47$ … и $20, 47$ … равны с точностью до сотых, т.к. равными являются дроби $20, 47$ и $20, 47$ и так далее.

Неравенство бесконечных непериодических дробей устанавливается вполне конкретно при явных различиях в записях. Например, неравными являются дроби $6, 4135$ … и $6, 4176$ … или $4, 9824$ … и $7, 1132$ … и так далее.

Правила сравнения десятичных дробей. Решение примеров

Если установлен факт неравенства двух десятичных дробей, обычно также необходимо определить, какая из них больше, а какая – меньше. Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей, которые дают возможность решить вышеуказанную задачу.

Очень часто достаточно лишь сравнить целые части заданных к сравнению десятичных дробей.

Определение 4

Та десятичная дробь, у которой целая часть больше, является бОльшей. Меньшей является та дробь, у которой целая часть меньше.

Указанное правило распространяется как на конечные десятичные дроби, так и на бесконечные.

Пример 1

Необходимо сравнить десятичные дроби: $7, 54$ и $3, 97823 \dots$ .

Решение

Совершенно очевидно, что заданные десятичные дроби равными не являются. Целые их части равны соответственно: $7$ и $3$ . Т.к. $7 > 3$ , то $7, 54 > 3, 97823 \dots$ .

Ответ: $7, 54 > 3, 97823 \dots$ .

В случае, когда целые части заданных к сравнению дробей равны, решение задачи сводится к сравнению дробных частей. Сравнение дробных частей производится поразрядно – от разряда десятых к более младшим.

Рассмотрим сначала случай, когда нужно сравнить конечные десятичные дроби.

Пример 2

Необходимо выполнить сравнение конечных десятичных дробей $0, 65$ и $0, 6411$ .

Решение

Очевидно, что целые части заданных дробей равны $(0 = 0)$ . Проведем сравнение дробных частей: в разряде десятых значения равны $(6 = 6)$ , а вот в разряде сотых значение дроби $0, 65$ больше, чем значение разряда сотых в дроби $0, 6411 (5 > 4)$ . Таким образом, $0, 65 > 0, 6411$ .

Ответ: $0, 65 > 0, 6411$ .

В некоторых задачах на сравнение конечных десятичных дробей с разным количеством знаков после запятой необходимо к дроби с меньшим количеством десятичных знаков приписывать нужное количество нулей справа. Удобно уравнивать таким образом количество десятичных знаков в заданных дробях еще до начала сравнения.

Пример 3

Необходимо сравнить конечные десятичные дроби $67, 0205$ и $67, 020542$ .

Решение

Данные дроби очевидно не являются равными, т.к. записи их различны. При этом их целые части равны: $67 = 67$ . Прежде чем приступить к поразрядному сравнению дробных частей заданных дробей, уравняем количество знаков после запятой, дописав нули справа в дроби с меньшим количеством знаков. Тогда получим для сравнения дроби: $67, 020500$ и $67, 020542$ . Проводим поразрядное сравнение и видим, что в разряде стотысячных значение в дроби $67, 020542$ больше, чем соответствующее в дроби $67, 020500 (4 > 0)$ . Таким образом, $67, 020500 < 67, 020542$ , а значит $67, 0205 < 67, 020542$ .

Ответ: $67, 0205 < 67, 020542$ .

Если необходимо сравнить конечную десятичную дробь с бесконечной, то конечная дробь заменяется бесконечной, ей равной с периодом $0$ . Затем производится поразрядное сравнение.

Пример 4

Необходимо сравнить конечную десятичную дробь $6, 24$ с бесконечной непериодической десятичной дробью $6, 240012 \dots$

Решение

Мы видим, что целые части заданных дробей равны $(6 = 6)$ . В разрядах десятых и сотых значения обеих дробей также являются равными. Чтобы иметь возможность сделать вывод, продолжаем сравнение, заменяя конечную десятичную дробь равной ей бесконечной с периодом $0$ и получаем: $6, 240000 \dots$ . Дойдя до пятого знака после запятой, находим различие: $0 < 1$ , а значит: $6, 240000 \dots < 6, 240012 \dots$ . Тогда: $6, 24 < 6, 240012 \dots$ .

Ответ: $6, 24 < 6, 240012 \dots$ .

Сравнивая бесконечные десятичные дроби, также применяют поразрядное сравнение, которое окончится тогда, когда значения в каком-то разряде у заданных дробей окажутся различными.

Пример 5

Необходимо сравнить бесконечные десятичные дроби $7, 41 (15)$ и $7, 42172 \dots$ .

Решение

В заданных дробях - равные целые части, значения десятых также равны, а вот в разряде сотых мы видим различие: $1 < 2$ . Тогда: $7, 41 (15) < 7, 42172 \dots$ .

Ответ: $7, 41 (15) < 7, 42172 \dots$ .

Пример 6

Необходимо сравнить бесконечные периодические дроби $4, (13)$ и $4, (131)$ .

Решение:

Понятными и верными являются равенства: $4, (13) = 4, 131313 \dots$ и $4, (133) = 4, 131131 \dots$ . Сравниваем целые части и поразрядно дробные, и на четвертом знаке после запятой фиксируем расхождение: $3 > 1$ . Тогда: $4, 131313 \dots > 4, 131131 \dots$ , а $4, (13) > 4, (131)$ .

Ответ: $4, (13) > 4, (131)$ .

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами

Чтобы получить результат сравнения десятичной дроби с натуральным числом, необходимо сравнить целую часть заданной дроби с заданным натуральным числом. При этом надо учесть, что периодические дроби с периодами $0$ или $9$ нужно предварительно представить в виде равных им конечных десятичных дробей.

Определение 5

Если целая часть заданной десятичной дроби меньше заданного натурального числа, то и вся дробь является меньшей по отношению к заданному натуральному числу. Если целая часть заданной дроби больше или равна заданному натуральному числу, то дробь больше заданного натурального числа.

Пример 7

Необходимо сравнить натуральное число $8$ и десятичную дробь $9, 3142 \dots$ .

Решение:

Заданное натуральное число меньше, чем целая часть заданной десятичной дроби $(8 < 9)$ , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

Ответ: $8 < 9, 3142 \dots$ .

Пример 8

Необходимо сравнить натуральное число $5$ и десятичную дробь $5, 6$ .

Решение

Целая часть заданной дроби равна заданному натуральному числу, тогда, согласно вышеуказанному правилу, $5 < 5, 6$ .

Ответ: $5 < 5, 6$ .

Пример 9

Необходимо сравнить натуральное число $4$ и периодическую десятичную дробь $3, (9)$ .

Решение

Период заданной десятичной дроби равен $9$ , а значит перед сравнением необходимо заменить заданную десятичную дробь равной ей конечной или натуральным числом. В данном случае: $3, (9) = 4$ . Таким, образом исходные данные равны.

Ответ: $4 = 3, (9)$ .

Чтобы произвести сравнение десятичной дроби с обыкновенной дробью или смешанным числом, необходимо:

- записать обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби, а затем выполнить сравнение десятичных дробей или
- записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби (за исключением бесконечной непериодической), а затем выполнить сравнение с заданной обыкновенной дробью или смешанным числом.

Пример 10

Необходимо сравнить десятичную дробь $0, 34$ и обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ .

Решение

Решим задачу двумя способами.

Запишем заданную обыкновенную дробь $\frac{1}{3}$ в виде равной ей периодической десятичной дроби: $0, 33333 \dots$ . Тогда становится необходимым произвести сравнение десятичных дробей $0, 34$ и $0, 33333 \dots$ . Получим: $0, 34 > 0, 33333 \dots$ , а значит $0, 34 > \frac{1}{3}$ .
Запишем заданную десятичную дробь $0, 34$ в виде равной ей обыкновенной. Т.е.: $0, 34 = \frac{34}{100} = \frac{17}{50}$ . Сравним обыкновенные дроби с разными знаменателями и получим: $\frac{17}{50} > \frac{1}{3}$ . Таким образом, $0, 34 > \frac{1}{3}$ .

Ответ: $0, 34 > \frac{1}{3}$ .

Сравнение десятичных дробей с натуральными числами, обыкновенными дробями и смешанными числами — Пример 11