Сравнение натуральных чисел: равно или не равно, больше или меньше?

Сравнение натуральных чисел между собой – тема данной статьи. Разберем сравнение двух натуральных чисел и изучим понятие равных и неравных натуральных чисел. Выясним большие и меньшие из двух чисел на примерах. Поговорим о натуральном ряде чисел и об их сравнении.  Будут показаны результаты сравнений трех и более чисел.

Сравнение натуральных чисел

Рассмотрим это на примере. Когда на дереве имеется стая, состоящая из $7$ птиц, а на другом из $5$ десятка птиц, то стаи считаются разными, так как не похожи друг на друга. Отсюда можно делать вывод о том, что эта непохожесть и есть сравнение.

При сравнении натуральных чисел проводится такая проверка на похожесть.

Если считать, что под сравнением натуральных чисел подразумевают действие, то оно может привести к нескольким результатам:

• Равенство. Этот случай возможен, когда числа равны.
• Неравенство. Когда числа не равны.

Когда получаем неравенство, это значит, что одно из этих чисел больше или меньше другого, что и увеличивает диапазон использования натуральных чисел.

Рассмотрим определения равных и неравных чисел. Разберем, каким образом это определяется.

Равные и неравные натуральные числа

Рассмотрим определение равных и неравных чисел.

Исходя из определения, числа $402$ и $402$ считаются равными, также как и $7$ и $7$, так как они одинаково записываются. Но такие числа, как $55283$ и $505283$ не равны, так как записи их не одинаковы и имеют различия, $582$ и $285$ разные, так как по записи отличаются.

Такие равенства имеют краткую запись. Знак равно «$=$» и знак неравно «$\ne$». Их расположение непосредственно между числами, например, $47=47$. Означает, что эти числа равные. Или $56\ne 65$. Это значит, что числа разные и отличаются по записи.

В записи, которая имеет два натуральных числа со знаком «$=$» называют равенством. Они бывают верными или неверными. Например, $45=45$, что считается верным равенством. Если $465=455$, что считается неверным равенством.

Сравнение однозначных натуральных чисел

Числа могут быть одновременно больше или меньше нескольких. Например, если $1$ меньше $2$, то и меньше $8$, а $5$ меньше всех чисел, начиная от $6$. Это относится к каждому числу данного ряда от $1$ до $9$.

Краткая запись знака меньше – «$<$»,  а знака больше – «$>$». Их расположение между двумя сравниваемыми числами. Когда имеется запись, где $3>1$, это означает, что $3$ больше единицы, если запись имеет вид $6<9$, тогда $6$ меньше $9$.

Сравнение однозначного и многозначного натуральных чисел

Если принять за правило, что все однозначные числа меньше двухзначных, тогда получим:

$5<10, 6<42, 303>3, 32043>7$. Эта запись считается верной. Вот пример неверной записи неравенства: $3>11, 733<5$ и $2>1 020$.

Рассмотрим сравнения многозначных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел

Рассмотрим сравнение двух неравных многозначных натуральных чисел с равным количеством знаков. Предварительно следует повторить раздел, изучающий разряды натурального числа и значение разряда.

В таком случае производится поразрядное сравнение, то есть слева направо. Меньшим считается число, которое имеет меньшее значение соответствующего разряда и наоборот.

Чтобы решить пример, нужно уяснить, что $0$ всегда меньше любого натурального числа и что он равен самому себе. Число ноль относится к разряду натуральных чисел.

Сравнение многозначных натуральных чисел производится по-другому. Большим числом считают то, которое имеет меньшее количество знаков и наоборот.

Натуральный ряд чисел, нумерация, счет

Произведем запись натуральных чисел так, чтобы последующее было больше предыдущего. Запишем этот ряд: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$. Эта последовательность имеет продолжение с двузначными числами: $1,2, .., 10, 11, .., 99$. Ряд с трехзначными числами имеет вид $1,2, ..,10, 11, .., 99, 100, 101, .., 999$.

Эта запись продолжается до бесконечности. Такая бесконечная последовательность чисел называется натуральным рядом чисел.

Существует еще один процесс – счет. Во время счета числа называются одно за другим, то есть таким образом, как они зафиксированы по ряду. Данный процесс применим для определения количества предметов.

Исли имеется определенное число предметов, но нам необходимо узнать количество, используем счет. Он производится, начиная с единицы. Если во время пересчета перекладывать предметы в кучу, то ее можно назвать натуральным рядом чисел. Последний предмет будет являться числом их количества. Когда процесс закончен, мы знаем их число, то есть предметы пересчитаны.

Во время счета меньше то натурально число, которое находится раньше и называется раньше. Применение нумерации используется для конкретного определения предмета, то есть присваивая ему определенный номер. Например, имеем некоторое количество предметов. На каждом из них зафиксируем их порядковый номер. Таким образом производится нумерация. Она применима для различения одинаковых предметов.

Натуральные числа на координатном луче

Для начала необходимо повторить определение координатного луча.

При просмотре слева направо видим штрихи, которые означают определенную последовательность чисел, начиная от $0$ и до бесконечности. Эти штрихи называют точками. Точки, расположенные левее меньше точек, расположенных правее. Отсюда следует, что точка, имеющая меньшую координату на координатном луче, расположена левее точки с большей координатой.

Рассмотрим на примере двух чисел $2$ и $6$. Поставим две точки $А$ и $В$ на координатном луче, располагая на значениях $2$ и $6$.

Отсюда следует, что точка $А$ находится левее, а, значит, что она меньше точки $В$, так как расположение точки $В$ правее точки $А$. Запишем в виде неравенства: $2<6$. Иначе можно озвучить, как «точка $В$ лежит правее точки $А$, значит число $6$ на координатном луче больше числа $2$».

Наименьшее и наибольшее натуральное число

Считается, что $1$ – это наименьшее натуральное число из множества всех натуральных чисел. Все числа, расположенные правее него считаются больше предыдущего. Этот ряд бесконечен, поэтому нет наибольшего числа из этого множества чисел.

Мы можем выделить наибольшее число из ряда однозначных натуральных чисел. Оно равно $9$. Это легко сделать, так как количество однозначных чисел ограничено. Аналогично находим большее число из множества двузначных чисел. Оно равняется $99$. Таким же образом выполняется поиск большего числа трехзначных и так далее чисел.

При сравнении пары чисел заметим, что возможен поиск меньшего и большего числа. Если $4$ – число наименьшее, тогда $40$ – наибольшее из заданного ряда: $4, 6, 34, 34, 67, 18, 40$.

Двойные, тройные неравенства

Известно, что $5<12$, а $12<35$. Два неравенства можно представить в виде одного двойного. Такая запись имеет вид: $5<12<35$. Отсюда видно, что при записи двойного неравенства получаем три неравенства, которые запишем $5<12, 12<35$ и $5<35$.

Запись в виде двойного неравенства применима для сравнения и трех чисел. Когда необходимо произвести сравнение $76, 512$ и $10$, мы получаем три неравенства $76<512, 76>10, 512>10$. Их, в свою очередь, можно записать как одно, но двойное $10<76<512$.

Таким же образом  выполняются тройные, четверные и так далее неравенства.

Если известно, что $5<16, 16<305, 305<1 001, 1 001<3 214$, тогда запись может быть представлена в виде $5<16<305<1 001<3 214.$

Необходимо быть внимательным при составлении двойных неравенств, так как можно произвести его неверно, что повлечет за собой неправильное решение задачи.