Сравнение рациональных чисел

Содержание:

14 ноября 2023
7 минут
2862

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В статье рассмотрим основные моменты по теме сравнения рациональных чисел. Изучим схему сравнения чисел с различными знаками, сравнения нуля с любым рациональным числом, а также более детально разберем сравнение положительных рациональных чисел и сравнение отрицательных рациональных чисел. Всю теорию закрепим практическими примерами.

Сравнение рациональных чисел с разными знаками

Сравнение заданных чисел с разными знаками является простым и очевидным.

Определение 1

Любое положительное число больше любого отрицательного, а любое отрицательное число меньше любого положительного.

Приведем простые примеры для иллюстрации: из двух рациональных чисел $\frac{4}{7}$ и $- 0, 13$ больше число $\frac{4}{7}$ , т.к. оно является положительным. При сравнении чисел $- 6, 53$ и $0, 00 (1)$ очевидно, что число $- 6, 53$ меньше, т.к. оно – отрицательное.

Сравнение рационального числа с нулем

Определение 2

Любое положительное число больше нуля; любое отрицательное число – меньше нуля.

Простые примеры для наглядности: число $\frac{1}{4}$ больше, чем $0$ . В свою очередь $0$ меньше, чем

число $\frac{1}{4}$ . Число $- 6, 57$ меньше нуля, с другой стороны нуль больше, чем число $- 6, 57$ .

Отдельно нужно сказать про сравнение нуля с нулем: нуль равен нулю, т.е. $0 = 0$ .

Стоит также уточнить, что число нуль может быть представлено в виде, отличном от $0$ . Нулю будет соответствовать любая запись вида $\frac{0}{n}$ ( $n$ – любое натуральное число) или $0, 0, 0, 00, \dots,$ до $0, (0)$ . Таким образом, сравнивая два рациональных числа, имеющих записи, например, $0, 00$ и $\frac{0}{3}$ , делаем вывод, что они равны, т.к. этим записям соответствует одно и то же число – нуль.

Сравнение положительных рациональных чисел

Производя действие сравнения положительных рациональных чисел, нужно в первую очередь сравнить их целые части.

Определение 3

Большим является то число, у которого целая часть больше. Соответственно меньшим является число, целая часть которого меньше.

Пример 1

Необходимо определить, какое из рациональных чисел меньше: $0, 57$ или $3 \frac{2}{3}$ ?

Решение

Рациональные числа, заданные для сравнения, являются положительными. При этом очевидно, что целая часть числа $0, 57$ (равна $0$ ) меньше, чем целая часть числа $3 \frac{2}{3}$ (равна трем). Таким образом, $0, 57 < 3 \frac{2}{3}$ , т.е. из двух заданных чисел меньшим является число $0, 57$ .

Ответ: $0, 57$

Рассмотрим на практическом примере один нюанс используемого правила: ситуацию, когда одно из сравниваемых чисел – периодическая десятичная дробь с периодом $9$ .

Пример 2

Необходимо сравнить рациональные числа $17$ и $16, (9)$ .

Решение

$16, (9)$ – это периодическая дробь с периодом $9$ , являющаяся одной из форм записи числа $17$ . Таким образом, $17 = 16, (9)$ .

Ответ: заданные рациональные числа равны.

Мы рассмотрели практические примеры, когда целые части рациональных чисел не равны и подлежат сравнению. Если целые части заданных чисел равны, получить результат поможет сравнение дробных частей заданных чисел. Дробную часть всегда возможно записать в виде обыкновенной дроби вида m\n, конечной дроби или периодической десятичной дроби. Т.е. по сути сравнение дробных частей положительных чисел – это сравнение обыкновенных или десятичных дробей. Логично, что бОльшим из двух чисел с равными целыми частями является то, чья дробная часть больше.

Пример 3

Необходимо произвести сравнение положительных рациональных чисел: $4, 8$ и $4 \frac{3}{5}$

Решение

Очевидно, что целые части чисел, подлежащих сравнению, равны. Тогда следующим шагом станет сравнение дробных частей: $0, 8$ и $\frac{3}{5}$ . Здесь возможно использовать два способа:

Произведем перевод десятичной дроби в обыкновенную, тогда $0, 8 = \frac{8}{10}$ . Сравним обыкновенные дроби $\frac{8}{10}$ и $\frac{3}{5}$ . Приведя их к общему знаменателю, получаем: $\frac{8}{10} > \frac{6}{10}$ , т.е. $\frac{8}{10} > \frac{3}{5}$ , соответственно $0, 8 > \frac{3}{5}$ . Таким образом, $4, 8 > 4 \frac{3}{5}$ .
Произведем перевод обыкновенной дроби в десятичную, получим: $\frac{3}{5} = 0, 6$ . Сравним полученные десятичные дроби $0, 8$ и $0, 6 : 0, 8 > 0, 6$ . Следовательно: $0, 8 > \frac{3}{5}$ , а $4, 8 > 4 \frac{3}{5}$ .

Мы видим, что в результате применения обоих способов получен одинаковый результат сравнения заданных исходных рациональных чисел.

Ответ: $4, 8 > 4 \frac{3}{5}$ .

Если равны целые и дробные части положительных рациональных чисел, которые мы сравниваем, то эти числа являются равными друг другу. При этом записи чисел могут различаться (например, $6, 5 = 6 \frac{1}{2}$ ), либо полностью совпадать (например, $7, 113 = 7, 113$ или $51 \frac{3}{4} = 51 \frac{3}{4}$ ).

Сравнение отрицательных рациональных чисел

Определение 4

При сравнении двух отрицательных чисел бОльшим будет то число, модуль которого меньше и, соответственно, меньшим будет то число, модуль которого больше.

По сути указанное правило приводит сравнение двух отрицательных рациональных чисел к сравнению положительных, принцип которого мы разобрали выше.

Пример 4

Необходимо сравнить числа $- 14, 3$ и $- 3 \frac{9}{11}$ .

Решение

Заданные числа являются отрицательными. Для сравнения определим их модули: $| - 14, 3 | = 14, 3$ и $|- 3 \frac{9}{11}| = 3 \frac{9}{11}$ _formula_. Сравнение начнем с оценки целых частей заданных чисел: очевидно, что $14 > 3$ , таким образом $14, 3 > 3 \frac{9}{11}$ . Применим правило сравнения отрицательных чисел, которое гласит, что больше то число, модуль которого меньше и тогда получим: $- 14, 3 < - 3 \frac{9}{11}$ .

Ответ: $- 14, 3 < - 3 \frac{9}{11}$ .

Пример 5

Необходимо сравнить отрицательные рациональные числа $- 2, 12$ и $- 2 \frac{4}{25}$ .

Решение

Определим модули сравниваемых чисел. $| - 2, 12 | = 2, 12$ и $|- 2 \frac{4}{25}| = 2 \frac{4}{25}$ . Мы видим, что целые части заданных чисел равны, значит необходимо произвести сранение их дробных частей: $0, 12$ и $\frac{4}{25}$ . Воспользуемся способом перевода обыкновенной дроби в десятичную, тогда: $\frac{4}{25} = 0, 16$ и $0, 12 < 0, 16$ , т.е. $2, 12 < 2 \frac{4}{25}$ . Применим правило сравнения отрицательных рациональных чисел и получим: $- 2, 12 > - 2 \frac{4}{25}$ .

Ответ: $- 2, 12 > - 2 \frac{4}{25}$ .

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.