Основные свойства действий с рациональными числами

Данная статья посвящена обзору свойств действий с рациональными числами. Сначала рассмотрены основные свойства, а затем - те свойства, которые базируются на основных свойствах. 

Действия с рациональными числами. Основные свойства

Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть $a, b, c, d$ - некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.

1. Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. $a+b=b+a$.
2. Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. $a+(b+c)=(a+b)+c$.
3. Ноль - нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. $a+0=a$.
4. Для любого рационального числа $a$ существует такое противоположное число $-a$, что $a+(-a)=0$.
5. Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. $a·b=b·a$.
6. Сочетательный закон умножения.$\left(a·b\right)·c=a·(b·c)$.
7. Единица - нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. $a·1=a$.
8. Для любого рационального числа $a$, отличного от ноля, существует такое обратное число $a^{-1}$, что $a·a^{-1}=1$.
9. Распределительное свойство умножения относительно сложения. $a·(b+c)=a·b+a·c$.

Перечисленные выше свойства - основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.

Другие свойства рациональных чисел

Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.

Умножение рациональных чисел с разными знаками. $a·(-b)=-(a·b)$ или $(-a)·b=-(a·b)$. 

Умножение отрицательных рациональных чисел. $(-a)·(-b)=a·b$. 

Умножение произвольного числа на ноль. $a·0=0$. Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть $d$ - любое рациональное число. Справедливым будет равенство $0=d+(-d)$, которое можно переписать так: $a·0=a·(d+(-d\left)\right)$. Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:

$$\begin{gathered} a·0=a·d+a·(-d) \\ a·d+a·(-d)=a·d+(-a·d) \end{gathered}$$

Сумма двух противоположных чисел $a·d$ и $(-a·d)$ дает ноль. Что и требовалось доказать.

Рассмотренные выше свойства - свойства умножения и сложения. Свойства вычитания и деления задаются как обратные свойства соответственно к сложению и умножению. Так, разность двух чисел $a-b$ можно записать в виде суммы $a+(-b)$, а частное $\frac{a}{b}$ есть не что иное, как произведение $a·b^{-1}$.

С учетом свойств умножения и сложения можно доказать любые свойства действий с рациональными числами. Для примера, возьмем распределительное свойство умножения относительно вычитания:

$$\begin{gathered} a·(b-c)=a·b-a·c \\ a·(b-c)=a·(b+(-c\left)\right)=a·b+a·(-c)=a·b+(-a·c)=a·b-a·c \end{gathered}$$