Целые числа: общее представление

В данной статье определим множество целых чисел, рассмотрим, какие целые называются положительными, а какие отрицательными. Также покажем, как  целые числа используются для описания изменения некоторых величин. Начнем с определения и примеров целых чисел.

Целые числа. Определение, примеры

Вначале вспомним про натуральные числа $\mathrm{\mathbb{N}}$. Само название говорит о том, что это такие числа, которые естественно использовались для счета с незапамятных времен. Для того, чтобы охватить понятие целых чисел, нам нужно расширить определение натуральных чисел.

Из определения следует, что целым является любое из чисел $1, 2, 3..$, число $0$, а также числа $-1, -2, -3,..$

В соответствии с этим, приведем примеры. Числа $39, -589, 10000000, -1596, 0$ являются целыми числами.

Целые числа и координатная прямая

Пусть координатная прямая проведена горизонтально и направлена вправо. Взглянем на нее, чтобы наглядно представить расположение целых чисел на прямой.

Началу отсчета на координатной прямой соответствует число $0$, а точкам, лежащим по обе стороны от нуля соответствуют положительные и отрицательные целые числа. Каждой точке соответствует единственное целое число. 

В любую точку прямой, координатой которой является целое число, можно попасть, отложив от начала координат некоторое количество единичных отрезков.

Положительные и отрицательные целые числа

Из всех целых чисел логично выделить положительные и отрицательные целые числа. Дадим их определения.

Например, число $7$ - целое число со знаком плюс, то есть положительное целое число. На координатной прямой это число лежит справа от точки отсчета, за которую принято число $0$. Другие примеры положительных целых чисел: $12, 502, 42, 33, 100500$.

Примеры целых отрицательных чисел: $-528, -2568, -1$.

Число $0$ разделяет положительные и отрицательные целые числа и само не является ни положительным, ни отрицательным. 

Любое число, противоположное положительному целому числу, в силу определения, является отрицательным целым числом. Справедливо и обратное. Число, обратное любому отрицательному целому числу, есть положительное целое число. 

Можно дать другие формулировки определений отрицательных и положительных целых чисел, используя их сравнение с нулем.

Соответственно, положительные числа лежат правее начала отсчета на координатной прямой, а отрицательные целые числа находятся левее от нуля.

Ранее мы уже говорили, что натуральные числа - это подмножество целых. Уточним этот момент. Множество натуральных чисел составляют целые положительные числа. В свою очередь, множество отрицательных целых чисел является множеством чисел, противоположных натуральным.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Дадим определения.

Как видим, число нуль не является ни положительным, ни отрицательным.

Примеры неотрицательных  целых чисел: $52, 128, 0$.

Примеры неположительных целых чисел: $-52, -128, 0$.

Неотрицательное число - это число, большее или равное нулю. Соответственно, неположительное целое число - это число, меньшее или равное нулю.

Термины "неположительное число" и "неотрицательное число" используются для краткости. Например, вместо того, чтобы говорить, что число $a$ - целое число, которое больше или равно нулю, можно сказать: $a$ - целое неотрицательное число.

Использование целых чисел при описании изменения величин

Для чего используются целые числа? В первую очередь, с их помощью удобно описывать и определять изменение количества каких-либо предметов. Приведем пример.

Пусть на складе хранится какое-то количество коленвалов. Если на склад привезут еще $500$ коленвалов, то их количество увеличится. Число $500$ как раз и выражает изменение (увеличение) количества деталей. Если потом со склада увезут $200$деталей, то это число также будет характеризовать изменение количества коленвалов. На этот раз, в сторону уменьшения.

Если же со склада ничего не будут забирать, и ничего не будут привозить, то число $0$ укажет на неизменность количества деталей.

Очевидное удобство использования целых чисел в отличие от натуральных в том, что их знак явно указывает на направление изменения величины (увеличение или убывание).

Понижение температуры на $30$ градусов можно охарактеризовать отрицательным числом $-30$, а увеличение на $2$ градуса - положительным целым числом $2$.

Приведем еще один пример с использованием целых чисел. На этот раз, представим, что мы должны отдать кому-то 5 монет. Тогда, можно сказать, что мы обладаем $-5$ монетами. Число $5$ описывает размер долга, а знак "минус" говорит о том, что мы должны отдать монеты.

Если мы должны $2$ монеты одному человеку, а $3$ - другому, то общий долг ($5$ монет) можно вычислить по правилу сложения отрицательных чисел:

$-2+(-3)=-5$