Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства
- 27 августа 2023
- 6 минут
- 1 256
Умножение, сложение, вычитание и деление - основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.
Сложение целых чисел. Основные свойства
Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ Z включает в себя множество натуральных чисел ℕN. Приведем ниже основные свойства сложения.
Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
a+b=b+aa+b=b+a
Согласно этому свойству, справедливо равенство:
35+251=251+3535+251=251+35
Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.
(-528)+3700=3700+(-528)(−528)+3700=3700+(−528)
Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.
Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.
a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.
Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:
64+81+(-49)=(64+81)+(-49)=64+(81+(-49);)64+81+(−49)=(64+81)+(−49)=64+(81+(−49);)
(128+(-75))+96=128+((-75)+96).(128+(−75))+96=128+((−75)+96).
1. Число нуль - нейтральный по сложению элемент.
Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.
a+0=aa+0=a
2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.
a+(-a)=0a+(−a)=0
Умножение целых чисел. Основные свойства
Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.
Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.
От перемены мест множителей произведение не меняется.
a·b=b·aa⋅b=b⋅a
Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·32⋅3 эквивалентно произведению 3·23⋅2.
Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:
a·(b·c)=(a·b)·ca⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c
a, b, ca, b, c - произвольные целые числа.
Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.
В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:
(-12)·(3·8)=((-12)·3)·8(−12)⋅(3⋅8)=((−12)⋅3)⋅8;
119·((-251)·36)=(119·(-251))·36119⋅((−251)⋅36)=(119⋅(−251))⋅36.
Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.
a·0=0a⋅0=0
Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел aa и bb равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
a·b=0a⋅b=0 если a=0a=0 или b=0b=0.
Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.
a·1=aa⋅1=a
Произведение целого числа aa на сумму двух чисел bb и cc равно сумме произведений a·ba⋅b и a·ca⋅c.
a·(b+c)=a·b+a·ca⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.
В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.
Вычитание целых чисел. Основные свойства
Вычитание - действие, обратное сложению. Число cc является разностью двух чисел aa и bb тогда, когда сумма b+cb+c равна aa. Можно сказать, что разность чисел aa и bb - это сумма чисел aa и (-b)(−b). Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.
- Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=ba=b. a-b≠b-aa−b≠b−a.
- Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0a−a=0.
- Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=(a-b)-ca−(b+c)=(a−b)−c.
- Вычитание целого числа из суммы: (a+b)-c=(a-c)+b=a+(b-c)(a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c).
- Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·ca⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c.
Деление целых чисел. Основные свойства
Деление - операция, обратная умножению. Число cc называется частным от деления чисел aa и bb, когда произведение b·cb⋅c равно aa. Запишем основные свойства деления целых чисел.
- Деление на нуль невозможно.
- Деление нуля на число: 0a=00a=0.
- Деление равных чисел: aa=1aa=1.
- Деление на единицу: a1=aa1=a.
- Для деления переместительное свойства не выполняется: ab≠baab≠ba.
- Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bca±bc=ac±bc.
- Деление произведения на число: a·bc=ac·ba⋅bc=ac⋅b, если aa делится на cc; a·bc=a·bсa⋅bc=a⋅bс, если bb делится на cc; a·bc=a·bс=ac·ba⋅bc=a⋅bс=ac⋅b, если aa и bb делятся на cc.
- Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1bab⋅c=ab⋅1c=ac⋅1b.
Сохранить статью удобным способом