Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел: основные свойства

Содержание:
  1. Сложение целых чисел. Основные свойства
  2. Умножение целых чисел. Основные свойства
  3. Вычитание целых чисел. Основные свойства
  4. Деление целых чисел. Основные свойства

Умножение, сложение, вычитание и деление - основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Сложение целых чисел. Основные свойства

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел ℤ Z включает в себя множество натуральных чисел N. Приведем ниже основные свойства сложения.

Коммутативное свойство сложения

Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется

a+b=b+aa+b=b+a

 Согласно этому свойству, справедливо равенство:

35+251=251+3535+251=251+35

Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

(-528)+3700=3700+(-528)(528)+3700=3700+(528)

Ассоциативное свойство сложения

Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон. 

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

a+(b+c)=(a+b)+ca+(b+c)=(a+b)+c

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:

64+81+(-49)=(64+81)+(-49)=64+(81+(-49);)64+81+(49)=(64+81)+(49)=64+(81+(49);)

(128+(-75))+96=128+((-75)+96).(128+(75))+96=128+((75)+96).

Свойства сложения, связанные с числом 0

1. Число нуль - нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

a+0=aa+0=a

2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

a+(-a)=0a+(a)=0

Умножение целых чисел. Основные свойства

Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

Переместительное свойство умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

a·b=b·aab=ba

Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел 2·323 эквивалентно произведению 3·232.

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:

a·(b·c)=(a·b)·ca(bc)=(ab)c

a, b, ca, b, c - произвольные целые числа.

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:

(-12)·(3·8)=((-12)·3)·8(12)(38)=((12)3)8;

119·((-251)·36)=(119·(-251))·36119((251)36)=(119(251))36.

Умножение числа на нуль

Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

a·0=0a0=0

Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел aa и bb равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

a·b=0ab=0 если a=0a=0 или b=0b=0.

Умножение числа на единицу

Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

a·1=aa1=a

Распределительное свойство умножения относительно суммы.

Произведение целого числа aa на сумму двух чисел bb и cc равно сумме произведений a·bab и a·cac.

a·(b+c)=a·b+a·ca(b+c)=ab+ac

Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание целых чисел. Основные свойства

Вычитание - действие, обратное сложению. Число cc является разностью двух чисел aa и bb тогда, когда сумма b+cb+c равна aa. Можно сказать, что разность чисел aa и bb - это сумма чисел aa и (-b)(b). Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

Основные свойства вычитания
  1. Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда a=ba=ba-bb-aabba.
  2. Разность целых чисел, равных друг другу: a-a=0aa=0.
  3. Вычитание суммы двух чисел из другого числа: a-(b+c)=(a-b)-ca(b+c)=(ab)c.
  4. Вычитание целого числа из суммы: (a+b)-c=(a-c)+b=a+(b-c)(a+b)c=(ac)+b=a+(bc).
  5. Распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b-c)=a·b-a·ca(bc)=abac.

Деление целых чисел. Основные свойства

Деление - операция, обратная умножению. Число cc называется частным от деления чисел aa и bb, когда произведение b·cbc равно aa. Запишем основные свойства деления целых чисел.

Основные свойства деления
  1. Деление на нуль невозможно.
  2. Деление нуля на число: 0a=00a=0.
  3. Деление равных чисел: aa=1aa=1.
  4. Деление на единицу: a1=aa1=a.
  5. Для деления переместительное свойства не выполняется: abbaabba.
  6. Деление суммы и разности на число: a±bc=ac±bca±bc=ac±bc.
  7. Деление произведения на число: a·bc=ac·babc=acb, если aa делится на cca·bc=a·bсabc=abс, если bb делится на cca·bc=a·bс=ac·babc=abс=acb, если aa и bb делятся на cc.
  8. Деление числа на произведение: ab·c=ab·1c=ac·1babc=ab1c=ac1b.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу