Справочник по математике - раздел Умножение, сложение, вычитание и деление целых чисел

Умножение, сложение, вычитание и деление - основные операции с целыми числами. Результаты этих операций с любыми целыми числами обладают рядом характеристик. Иначе говоря, операции умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел обладают свойствами. Данная статья посвящена рассмотрению основных свойств умножения, сложения, вычитания и деления целых чисел.

Сложение целых чисел. Основные свойства

Все свойства сложения натуральных чисел оказываются справедливы и для целых чисел. Ведь множество целых чисел $ℤ$ $ℤ$ включает в себя множество натуральных чисел $ℕ$ $ℕ$ . Приведем ниже основные свойства сложения.

Коммутативное свойство сложения

Переместительное (коммутативное свойство) или переместительный закон.

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

$a + b = b + a$ $a + b = b + a$

Согласно этому свойству, справедливо равенство:

$35 + 251 = 251 + 35$ $35 + 251 = 251 + 35$

Свойство коммутативности работает вне зависимости от знака.

$(- 528) + 3700 = 3700 + (- 528)$ $(- 528) + 3700 = 3700 + (- 528)$

Ассоциативное свойство сложения

Сочетательное (ассоциативное свойство) или сочетательный закон.

Сложение целого числа с суммой двух целых чисел эквивалентно сложению суммы двух первых чисел с третьим.

$a + (b + c) = (a + b) + c$ $a + (b + c) = (a + b) + c$

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества слагаемых.

Вот несколько примеров. Согласно свойству ассоциативности справедливы равенства:

$64 + 81 + (- 49) = (64 + 81) + (- 49) = 64 + (81 + (- 49);)$ $64 + 81 + (- 49) = (64 + 81) + (- 49) = 64 + (81 + (- 49);)$

$(128 + (- 75)) + 96 = 128 + ((- 75) + 96).$ $(128 + (- 75)) + 96 = 128 + ((- 75) + 96).$

Свойства сложения, связанные с числом 0

1. Число нуль - нейтральный по сложению элемент.

Прибавление нуля к любому целому числу не меняет этого числа.

$a + 0 = a$ $a + 0 = a$

2. Сумма любого целого числа и противоположного ему числа равна нулю.

$a + (- a) = 0$ $a + (- a) = 0$

Умножение целых чисел. Основные свойства

Как и в случае со сложением, все свойства умножения натуральных чисел переносятся на целые числа.

Для умножения также действуют переместительный и сочетательный (коммутативный и ассоциативный) законы.

Переместительное свойство умножения

От перемены мест множителей произведение не меняется.

$a \cdot b = b \cdot a$ $a \cdot b = b \cdot a$

Приведем пример. Очевидно, что произведение целых чисел $2 \cdot 3$ $2 \cdot 3$ эквивалентно произведению $3 \cdot 2$ $3 \cdot 2$ .

Сочетательное свойство умножения

Сочетательное свойство для умножения эквивалентно сочетательному свойству сложения. В буквенном виже оно записывается следующим образом:

$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$

$a, b, c$ $a, b, c$ - произвольные целые числа.

Примечание: данное свойство применимо и для большего количества множителей.

В соответствии с этим свойством можно говорить о справедливости следующих равенств:

$(- 12) \cdot (3 \cdot 8) = ((- 12) \cdot 3) \cdot 8$ $(- 12) \cdot (3 \cdot 8) = ((- 12) \cdot 3) \cdot 8$ ;

$119 \cdot ((- 251) \cdot 36) = (119 \cdot (- 251)) \cdot 36$ $119 \cdot ((- 251) \cdot 36) = (119 \cdot (- 251)) \cdot 36$ .

Умножение числа на нуль

Результатом умножения любого целого числа на нуль является число нуль.

$a \cdot 0 = 0$ $a \cdot 0 = 0$

Справедливо и обратное: произведение двух целых чисел $a$ $a$ и $b$ $b$ равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$a \cdot b = 0$ $a \cdot b = 0$ если $a = 0$ $a = 0$ или $b = 0$ $b = 0$ .

Умножение числа на единицу

Умножение любого целого числа на единицу дает в результате это число. Иными словами, умножение на единицу не изменяет умножаемое число.

$a \cdot 1 = a$ $a \cdot 1 = a$

Распределительное свойство умножения относительно суммы.

Произведение целого числа $a$ $a$ на сумму двух чисел $b$ $b$ и $c$ $c$ равно сумме произведений $a \cdot b$ $a \cdot b$ и $a \cdot c$ $a \cdot c$ .

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Данное свойство часто используется при упрощении выражений, одновременно содержащих как операции сложения, так и умножения.

В совокупности с ассоциативным свойством и распределительным законом можно легко расписать произведение целого числа на сумму из более чем трех слагаемых, а также произведение сумм.

Вычитание целых чисел. Основные свойства

Вычитание - действие, обратное сложению. Число $c$ $c$ является разностью двух чисел $a$ $a$ и $b$ $b$ тогда, когда сумма $b + c$ $b + c$ равна $a$ $a$ . Можно сказать, что разность чисел $a$ $a$ и $b$ $b$ - это сумма чисел $a$ $a$ и $(- b)$ $(- b)$ . Свойства вычитания являются следствием свойств сложения и умножения.

Основные свойства вычитания

Вычитание чисел не обладает переместительным свойством за исключением случая, когда $a = b$ $a = b$ . $a - b \neq b - a$ $a - b \neq b - a$ .
Разность целых чисел, равных друг другу: $a - a = 0$ $a - a = 0$ .
Вычитание суммы двух чисел из другого числа: $a - (b + c) = (a - b) - c$ $a - (b + c) = (a - b) - c$ .
Вычитание целого числа из суммы: $(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c)$ $(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c)$ .
Распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ .

Деление целых чисел. Основные свойства

Деление - операция, обратная умножению. Число $c$ $c$ называется частным от деления чисел $a$ $a$ и $b$ $b$ , когда произведение $b \cdot c$ $b \cdot c$ равно $a$ $a$ . Запишем основные свойства деления целых чисел.

Основные свойства деления

Деление на нуль невозможно.
Деление нуля на число: $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{0}{a} = 0$ .
Деление равных чисел: $\frac{a}{a} = 1$ $\frac{a}{a} = 1$ .
Деление на единицу: $\frac{a}{1} = a$ $\frac{a}{1} = a$ .
Для деления переместительное свойства не выполняется: $\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$ $\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$ .
Деление суммы и разности на число: $\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}$ $\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}$ .
Деление произведения на число: $\frac{a \cdot b}{c} = \frac{a}{c} \cdot b$ $\frac{a \cdot b}{c} = \frac{a}{c} \cdot b$ , если $a$ $a$ делится на $c$ $c$ ; $\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{с}$ $\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{с}$ , если $b$ $b$ делится на $c$ $c$ ; $\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{с} = \frac{a}{c} \cdot b$ $\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{с} = \frac{a}{c} \cdot b$ , если $a$ $a$ и $b$ $b$ делятся на $c$ $c$ .
Деление числа на произведение: $\frac{a}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{1}{b}$ $\frac{a}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{c} \cdot \frac{1}{b}$ .