Умножение смешанных чисел: правила, примеры, решения, как умножить натуральное число на смешанную дробь

Данная статья дана для разбора смешанных чисел. Научимся выполнять умножения смешанных чисел и натурального числа.

Умножение смешанных чисел

Умножение смешанных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Для этого нужно сделать перевод смешанных чисел в неправильные дроби.

Используем правила умножения смешанных чисел:

Определение 1

Умножаемые смешанные числа нужно заменить неправильными дробями;
Использование правила умножения дроби на дробь.

Рассмотрим решения на примерах.

Пример 1

Сделать умножение $3 \frac{5}{7}$ $3 \frac{5}{7}$ и $1 \frac{2}{11}$ $1 \frac{2}{11}$ .

Решение

Для начала умножаем смешанные числа в виде неправильных дробей: $3 \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{26}{7}$ $3 \frac{5}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{26}{7}$ и $1 \frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$ $1 \frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$ .

Умножение смешенных дробей заменяем умножением обыкновенных: $3 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{2}{11} = \frac{26}{7} \cdot \frac{13}{11}$ $3 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{2}{11} = \frac{26}{7} \cdot \frac{13}{11}$ .

После чего получим $\frac{26}{7} \cdot \frac{13}{11} = \frac{26 \cdot 13}{7 \cdot 11} = \frac{338}{77}$ $\frac{26}{7} \cdot \frac{13}{11} = \frac{26 \cdot 13}{7 \cdot 11} = \frac{338}{77}$ .

Дробь несократимая, поэтому выделяем целую часть: $\frac{338}{77} = 4 \frac{30}{77}$ $\frac{338}{77} = 4 \frac{30}{77}$ .

В итоге получим $3 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{2}{11} = \frac{26}{7} \cdot \frac{13}{11} = \frac{26 \cdot 13}{7 \cdot 11} = \frac{338}{77} = 4 \frac{30}{77}$ $3 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{2}{11} = \frac{26}{7} \cdot \frac{13}{11} = \frac{26 \cdot 13}{7 \cdot 11} = \frac{338}{77} = 4 \frac{30}{77}$ .

Ответ: $3 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{2}{11} = 4 \frac{30}{77}$ $3 \frac{5}{7} \cdot 1 \frac{2}{11} = 4 \frac{30}{77}$ .

Чтобы закрепить знания умножения смешанных чисел, рассмотрим пример решения.

Пример 2

Произвести умножение $7 \frac{1}{5} \cdot 1 \frac{1}{9}$ $7 \frac{1}{5} \cdot 1 \frac{1}{9}$ .

Решение

Смешанные числа $7 \frac{1}{5}$ $7 \frac{1}{5}$ и $1 \frac{1}{9}$ $1 \frac{1}{9}$ можно представить в виде неправильных дробей: $\frac{13}{5}$ $\frac{13}{5}$ и $\frac{10}{9}$ $\frac{10}{9}$ .

Получим, что $7 \frac{1}{5} \cdot 1 \frac{1}{9} = \frac{36}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9}$ $7 \frac{1}{5} \cdot 1 \frac{1}{9} = \frac{36}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9}$ .

Этот этап характеризуется применением правила сокращения дроби, тогда получим $\frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9}$ $\frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9}$ .

Мы раскладываем на простые множители и выполняем сокращение одинаковых множителей:

$\frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)}{5 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{1} = 8$ $\frac{36 \cdot 10}{5 \cdot 9} = \frac{(2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)}{5 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{1} = 8$

Ответ: $7 \frac{1}{5} \cdot 1 \frac{1}{9} = 8$ $7 \frac{1}{5} \cdot 1 \frac{1}{9} = 8$ .

Умножение смешенного и натурального числа

После того, как произведется замена неправильной дробью, умножение смешенного и натурального числа сводится к умножению обыкновенной дроби и натурального числа.

Пример 3

Произвести умножение $2 \frac{5}{18}$ $2 \frac{5}{18}$ и $45$ $45$ .

Решение

Представляем смешанное число $2 \frac{5}{18}$ $2 \frac{5}{18}$ в виде неправильной дроби $\frac{41}{18}$ $\frac{41}{18}$ , получим $2 \frac{5}{18} \cdot 45 = \frac{41}{18} \cdot 45 = \frac{41 \cdot 45}{18}$ $2 \frac{5}{18} \cdot 45 = \frac{41}{18} \cdot 45 = \frac{41 \cdot 45}{18}$ . Необходимо заменить на простые множители и выделить целую часть:

$\frac{41 \cdot 45}{18} = \frac{41 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 5)}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{41 \cdot 5}{2} = \frac{205}{2} = 102 \frac{1}{2}$ $\frac{41 \cdot 45}{18} = \frac{41 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 5)}{2 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{41 \cdot 5}{2} = \frac{205}{2} = 102 \frac{1}{2}$

Ответ: $2 \frac{5}{18} \cdot 45 = 102 \frac{1}{2}$ $2 \frac{5}{18} \cdot 45 = 102 \frac{1}{2}$ .

Умножение смешенного и натурального числа рассматривается, как решение с распределительным свойством умножения относительно сложения. Получаем, что произведение смешанного и натурального числа равно сумме произведений целой части на натурально число и дробной части на данное натуральное число, тогда получаем, что $a \frac{b}{c} \cdot n = (a + \frac{b}{c}) \cdot n = a \cdot n + \frac{b}{c} \cdot n$ $a \frac{b}{c} \cdot n = (a + \frac{b}{c}) \cdot n = a \cdot n + \frac{b}{c} \cdot n$ .

Пример 4

Вычислить $10 \frac{3}{8} \cdot 8$ $10 \frac{3}{8} \cdot 8$ .

Решение

Необходимо заменить смешанное число суммой целой или дробной его части. Далее используем свойство распределительного умножения:

$10 \frac{3}{8} \cdot 8 = (10 + \frac{3}{8}) \cdot 8 = 10 \cdot 8 + \frac{3}{8} \cdot 8 = 80 + 3 = 83$ $10 \frac{3}{8} \cdot 8 = (10 + \frac{3}{8}) \cdot 8 = 10 \cdot 8 + \frac{3}{8} \cdot 8 = 80 + 3 = 83$

Ответ: $10 \frac{3}{8} \cdot 8 = 83$ $10 \frac{3}{8} \cdot 8 = 83$ .

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби

Умножение смешанного числа и обыкновенной дроби лучше представить в виде произведения обыкновенных дробей, умноженное на смешенное число неправильной дробью.

Пример 5

Умножить $3 \frac{2}{3}$ $3 \frac{2}{3}$ на $\frac{4}{15}$ $\frac{4}{15}$ .

Решение

Заменим данное смешанное число $3 \frac{2}{3}$ $3 \frac{2}{3}$ при помощи дроби $\frac{11}{3}$ $\frac{11}{3}$ , тогда получим, что $3 \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{11}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 11}{3 \cdot 15} = \frac{44}{45}$ $3 \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{11}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 11}{3 \cdot 15} = \frac{44}{45}$ .

Ответ: $3 \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{44}{45}$ $3 \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{44}{45}$ .