Вычитание десятичных дробей: правила, примеры, решения

11 июня 2023
9 минут
1 739

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Изучаем другие действия, которые можно совершать с десятичными дробями. В этом материале мы узнаем, как правильно подсчитать разность десятичных дробей. Отдельно разберем правила для конечных и бесконечных дробей (как периодических, так и непериодических), а также посмотрим, как считать разность дробей столбиком. Во второй части мы объясним, как вычесть десятичную дробь из натурального числа, обыкновенной дроби, смешанного числа.

Отметим заранее, что в этой статье рассмотрены только случаи, когда меньшая дробь вычитается из большей, т.е. результат этого действия положителен; другие случаи относятся к нахождению разности рациональных и действительных чисел и должны быть объяснены отдельно.

Основные правила вычитания десятичных дробей

Процесс вычисления как конечных, так и бесконечных периодических десятичных дробей можно свести к нахождению разности дробей обыкновенных. Раньше мы говорили о том, что десятичные дроби можно записывать в виде обыкновенных дробей. Исходя из этого правила, разберем несколько примеров нахождения разности.

Пример 1

Найдите разность $3, 7 - 0, 31$ .

Решение

Переписываем десятичные дроби в виде обыкновенных: $3, 7 = \frac{37}{10}$ и $0, 31 = \frac{31}{100}$ .

Что делать потом, мы уже изучали. Мы получили ответ, который переводим обратно в десятичную дробь: $\frac{339}{100} = 3, 39$ .

Подсчеты, связанные с десятичными дробями, удобно производить столбиком. Как же пользоваться этим методом? Покажем, решив задачу.

Основные правила вычитания десятичных дробей — Пример 2

Разберем далее, как найти разность, если у нас в условиях стоят бесконечные непериодические дроби. Такой случай также можно свести к нахождению разности конечных десятичных дробей, для чего понадобится округлить бесконечные дроби до определенного разряда (обычно самого меньшего из возможных).

Пример 3

Найдите разность $2, 77369 \dots - 0, 52$ .

Решение

Вторая дробь в условии – конечная, а первая – бесконечная непериодическая. Мы можем округлить ее до четырех знаков после запятой: $2, 77369 \dots \approx 2, 7737$ . После этого можно выполнять вычитание: $2, 77369 \dots - 0, 52 \approx 2, 7737 - 0, 52$ .

Ответ: $2, 2537$ .

Как считать разность десятичных дробей столбиком

Вычитание столбиком – быстрый и наглядный способ узнать разность конечных десятичных дробей. Процесс подсчета очень схож с аналогичным для натуральных чисел.

Определение 1

Чтобы подсчитать разность десятичных дробей столбиком, необходимо:

если в указанных десятичных дробях отличается количество знаков после запятой, уравняем его. Для этого допишем к нужной дроби нули;
запишем вычитаемую дробь под уменьшаемой, разместив значения разрядов строго друг под другом, а запятую под запятой;
выполним подсчет столбиком так же, как мы это делаем для натуральных чисел, запятую при этом игнорируем;
в ответе отделим нужное количество чисел запятой так, чтобы она располагалась на том же месте.

Разберем конкретный пример использования этого метода на практике.

Как считать разность десятичных дробей столбиком — Пример 4

Как вычесть натуральное число из десятичной дроби и наоборот

Найти разность между конечной десятичной дробью и натуральным числом легче всего описанным выше способом – столбиком. Для этого число, из которого мы вычитаем, необходимо записать в виде десятичной дроби, в дробной части которой стоят нули.

Если из натурального числа нам нужно вычесть бесконечную периодическую дробь, то мы опять же сводим эту задачу к аналогичному вычислению. Заменяем периодическую десятичную дробь на обыкновенную.

Пример 6

Вычислите разность $1 - 0, (6)$ .

Решение

Указанной в условии периодической десятичной дроби соответствует обычная $\frac{2}{3}$ .

Считаем: $1 - 0, (6) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ .

Полученный ответ можно перевести в периодическую дробь $0, (3)$ .

Если данная в условии дробь непериодическая, поступаем так же, предварительно округлив ее до нужного разряда.

Если перед нами стоит обратная задача – вычесть натуральное число из десятичной дроби, то мы выполняем вычитание из целой части дроби, а дробную часть не трогаем совсем. Мы поступаем так и с конечными, и с бесконечными дробями.

Пример 8

Найдите разность $37, 505 - 17$ .

Решение

Отделяем от дроби целую часть $37$ и вычитаем требуемое число из нее. Получаем $37, 505 - 17 = 20, 505$ .

Как вычесть десятичную дробь из смешанного числа или обыкновенной дроби и наоборот

Эту задачу также необходимо свести к вычитанию обыкновенных дробей – как в случае со смешанными числами, так и с десятичными дробями.

Пример 9

Вычислите разность $0, 25 - \frac{4}{5}$ .

Решение

Представим $0, 25$ в виде обыкновенной дроби – $0, 25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$ .

Теперь нам нужно найти разность между $\frac{1}{4}$ и $\frac{4}{5}$ .

Считаем: $\frac{4}{5} - 0, 25 = \frac{4}{5} - \frac{1}{4} = \frac{16}{20} - \frac{5}{20} = \frac{11}{20}$ .

Запишем ответ в виде десятичной записи: $0, 55$ .

Если в условии стоит смешанное число, из которого надо вычесть конечную или периодическую десятичную дробь, то поступаем аналогично.

Пример 10

Условие: отнимите $0, (18)$ от $8 \frac{4}{11}$ .

Решение

Перепишем периодическую дробь в виде обыкновенной. $0, (18) = 0, 18 + 0, 0018 + 0, 000018 + . . . = \frac{0, 18}{1 - 0, 01} = \frac{0, 18}{0, 99} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}$

Получается, что $8 \frac{4}{11} - 0, (18) = 8 \frac{4}{11} - \frac{2}{11} = 8 \frac{2}{11}$ .

В виде десятичной дроби ответ можно записать как $8, (18)$ .

Таким же образом мы действуем, когда вычитаем смешанное число или обыкновенную дробь из конечной или периодической дроби.

Пример 11

Подсчитайте $\frac{9}{40} - 0, 03$ .

Решение

Заменяем дробь $0, 03$ на обыкновенную $\frac{3}{100}$ .

У нас получается, что: $\frac{9}{40} - 0, 03 = \frac{9}{40} - \frac{3}{100} = \frac{90}{400} - \frac{12}{400} = \frac{78}{400} = \frac{39}{200}$

Ответ можно оставить так или преобразовать в десятичную дробь $0, 195$ .

Если нам требуется выполнять вычитание с участием бесконечных непериодических дробей, то нам нужно будет свести их к конечным. Со смешанными числами поступаем аналогично. Для этого запишем обыкновенную дробь или смешанное число в виде десятичной дроби и округлим вычитаемую дробь до определенного разряда. Проиллюстрируем нашу мысль примером:

Как вычесть десятичную дробь из смешанного числа или обыкновенной дроби и наоборот — Пример 12