Делители и кратные числа: определения и примеры

Эта статья посвящена делителям и кратным. Здесь мы объясним данные понятия, сформулируем определения, приведем примеры делителей и различных кратных чисел (рассмотрим пока только целые числа). Отдельно остановимся на делителях $1$ и $- 1$, а также делителях и кратных $0$.

Основные определения

Для начала сформулируем определения для целого числа.

Если вспомнить такое понятие, как делимость, то данную формулировку можно слегка изменить.

Когда мы говорим о числе $b$, являющимся делителем целого числа $a$, это значит, что $b$ делит $a$, что можно записать кратко как $b \mid a$ или $b \setminus a$.

Согласно определению целых чисел, а также свойствам умножения целых чисел, любое целое число можно разделить на единицу и на себя, то есть $a = a · 1$ и $a = 1 · a$. Зная свойства умножения, мы можем также вывести равенства $a = \; ( \; - \; a \; ) · \; ( \; - \; 1 \; )$ и $a = \; ( \; - \; 1 \; ) · \; ( \; - \; a \; )$. Из них следует, что у $a$ будет еще два делителя, равных $- a$ и $- 1$. Следовательно, целое число $a$ мы всегда можем разделить на $a , - a , 1$ и $- 1$. К примеру, число $12$ делится на $12 , - 12 , 1$ и $- 1$.

Остановимся на делителях таких чисел, как нуль, единица и минус единица. Поскольку нам знакомы свойства делимости, то мы можем заключить, что делителем $0$ может стать любое целое число (включая сам $0$), а единица и минус единица имеют только делители, равные $1$ и $- 1$ соответственно.

Таким образом, $0$ всегда будет иметь бесконечно большое число делителей в виде целых чисел (сюда входит и нуль), а у $1$ и $- 1$ будут только $2$ делителя – единица и минус единица. Минимальное количество делителей для любого целого числа a равно четырем. В их число входят $a , - a , 1$ и $- 1$.

Какие еще можно привести примеры делителей в случае с целыми числами?

Рассмотренные выше примеры говорят нам о том, что в качестве делителей целого числа могут выступать не только положительные, но и отрицательные целые числа. Эта возможность обоснована одним из свойств делимости: если $b$ – делитель целого числа $a$, то и противоположное число $- b$ тоже будет его делителем. Следовательно, можно разбирать только случаи с положительными делителями и просто распространять полученные результаты на отрицательные.

Вспомним также и другое свойство делимости, которое гласит, что если целое число $b$ будет делителем $a$, то a можно разделить и на $- b$, следовательно, множества делителей для положительного и отрицательного $a$ будут совпадать. Это правило опять же подтверждает возможность работы только с положительными числами для простоты и краткости вычислений.

Далее мы будем говорить лишь о положительных делителях целых положительных (натуральных) чисел.

У единицы есть только один положительный делитель – сама единица. Этим $1$ отличается от остальных натуральных чисел, поскольку другие имеют не меньше $2$ делителей: кроме единицы их можно разделить на числа, равные им самим. В зависимости от того, имеются ли делители, отличные от самого числа и единицы, различают числа простые и составные.

Наименьший положительный делитель числа $a$ – это единица (если само число $a$ не равно $1$),
а число $a$ – наибольший положительный делитель самого себя (подробнее о сравнении трех и более натуральных чисел мы писали в отдельной статье). Таким образом, для любого натурального $a$ положительный делитель $b$ будет соответствовать условию $1 \le b \le a$. Важную роль здесь также играет наибольший общий делитель (НОД), о котором мы поговорим отдельно.

Понятие кратных чисел

Начнем, как всегда, с определения.

Другими словами, кратное $b$ число является некоторым числом $a$, для которого будет верным равенство $a = b · q$ (здесь $q$ – некоторое целое число). Если у нас есть $a$, которое по отношению к $b$ является кратным, мы говорим, что $a$ кратно $b$. Записать это можно так:$a \; ⋮ b$.

Между кратным и делимым существует вполне определенная связь. На самом деле, если $a$ является кратным $b$, то $b$ будет делителем данного числа, и наоборот.

Возьмем несколько примеров кратных чисел.

Согласно определению кратных чисел, $0$ будет кратным по отношению к любому $b$, в том числе и нулевому. Доказательством является равенство $0 = b · 0$, ведь умножение любого числа на нуль дает в итоге нуль.

Также уточним, что для любого целого числа $b$ существует бесконечно много кратных, и любое целое число, соответствующее произведению $b · q$, где $q$ – любое целое число, будет кратным $b$.

Наименьшее положительное кратное положительного числа есть само это число. Обратите внимание, что наименьшее кратное в этом случае не нужно путать с наименьшим общим кратным для нескольких чисел (НОК).

Далее будут рассмотрены другие случаи с натуральными кратными целых положительных чисел.