Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Данная статья раскрывает смысл нахождения и алгоритм для общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с подробным просмотром их решений.

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = 0$ , неоднородное - $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = f (x)$ . $F (x), p (x)$ и $q (x)$ являются функциями, которые непрерывны из интервала интегрирования $x$ . Частным случаем принято считать $p (x) = p$ и $q (x) = q$ , то есть при наличии постоянных в записи функции.

Нахождение общего решения линейных дифференциальных уравнений

Теорема 1

Общее решение $y_{0}$ для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) вида $y^{(n)} + f_{n - 1} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = 0$ из интервала $x$ при наличии постоянных коэффициентов $f_{0} (x), f_{1} (x), . . ., f_{n - 1} (x)$ , располагаемых на $x$ , считают линейную комбинацию $n$ линейно независимых частных решений ЛОДУ $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ , где имеются произвольные коэффициенты $C_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ , то есть $y_{0} = \sum_{j = 1}^{n} C_{j} \cdot y_{j}$ .

Теорема 2

Общим решением $y$ для линейного неоднородного дифференциального уравнения вида $y^{(n)} + f_{n - 1} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$ из интервала $x$ при наличии коэффициентов $f_{0} (x), f_{1} (x), . . ., f_{n - 1} (x)$ и функции $f (x)$ является сумма вида $y^{(n)} + f_{n - 1} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = 0$ , где $\tilde{y}$ считается одним из общих решений ЛНДУ.

Отсюда следует, что

выражение $y_{0} = C_{1} \cdot y_{1} + C_{2} \cdot y_{2}$ считается общим решением дифференциального уравнения $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = 0$ , а $y_{1}$ и $y_{2}$ считаются линейно независимыми частными решениями;
$y = y_{0} + \tilde{y}$ обозначают в качестве общего решения уравнения $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = f (x)$ , где $\tilde{y}$ принимает одно из любых частных решений, $y_{0}$ соответствует общему решению ЛОДУ.

После чего необходимо находить $y_{1}$ , $y_{2}$ и $\tilde{y}$ .

Если функции простые, то применяется метод подбора.

Линейно независимые функции $y_{1}$ и $y_{2}$ находятся из

$1) 1, x, x^{2}, . . ., x^{n} 2) e^{k_{1} \cdot x}, e^{k_{2} \cdot x}, . . ., e^{k_{n} \cdot x} 3) e^{k_{1} \cdot x}, x \cdot e^{k_{1} \cdot x}, . . ., x^{n_{1}} \cdot e^{k_{1} \cdot x}, e^{k_{2} \cdot x}, x \cdot e^{k_{2} \cdot x}, . . ., x^{n_{2}} \cdot e^{k_{2} \cdot x}, . . . e^{k_{p} \cdot x}, x \cdot e^{k_{p} \cdot x}, . . ., x^{n_{p}} \cdot e^{k_{p} \cdot x} .$

Линейную независимость проверяют определителем Вронского вида $W (x) = open\begin{matrix} y_{1} (x) & y_{2} (x) \\ y_{1}' (x) & y_{2}' (x) \end{matrix}|$ . Когда функции располагаются на интервале $х$ , тогда такой определитель не равен $0$ на заданном промежутке.

Когда имеются функции вида $y_{1} = 1$ и $y_{2} = x$ , где $x$ принадлежит множеству действительных чисел, то $W (x) = open\begin{matrix} 1 & x \\ 1' & x' \end{matrix}| = open\begin{matrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix}| = 1 \neq 0 \forall x \in R$ .

Функции вида $y_{1} = \sin x$ и $y_{2} = \cos x$ считаются линейно независимы на области действительных чисел, потому как $W (x) = open\begin{matrix} \sin x & \cos x \\ (\sin x)' & (\cos x)' \end{matrix}| = open\begin{matrix} \sin x & \cos x \\ \cos x & - \sin x \end{matrix}| = = - \sin^{2} x - \cos^{2} x = - 1 \neq 0 \forall x \in R$

Функции $y_{1} = - x - 1$ и $y_{2} = x + 1$ считаются линейно независимыми из интервала $(- \infty; + \infty)$

$W (x) = open\begin{matrix} - x - 1 & x + 1 \\ (- x - 1)' & (x + 1)' \end{matrix}| = open\begin{matrix} - x - 1 & x + 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}| = = - x - 1 + x + 1 = 0 \forall x \in R$

Не всегда можно подобрать $y_{1}, y_{2}, \tilde{y}$ . Поэтому следует использовать другой метод. При наличии ненулевого частного решения $y_{1}$ ЛОДУ второго порядка $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = f (x)$ , тогда общее решение находится понижением степени и подстановкой $y = y_{1} \cdot \int u (x) d x$ .

Пример 1

Найти общее решение уравнение вида $y'' - y' + \frac{y}{x} = 0$ .

Решение

Частное решение записывается как $y_{1} = x$ для дифференциального уравнения $y'' - y' + \frac{y}{x} = 0$ , когда $x$ не равен $0$ . Необходимо перейти к понижению степени при помощи постановки. Тогда получим уравнение вида $y = y_{1} \cdot \int u (x) d x = x \cdot \int u (x) d x$ , а итоговое значение примет вид интеграла $\int u (x) d x = \frac{y}{x}$ .

По правилу дифференцирования произведения и свойству неопределенного интеграла получаем выражение вида

$y' = {(x \cdot \int u (x) d x)}^{'} = x' \cdot \int u (x) d x + x \cdot {(\int u (x) d x)}^{'} = = \int u (x) d x + x \cdot u (x) = \frac{y}{x} + x \cdot u (x) y'' = {(\int u (x) d x + x \cdot u (x))}^{'} = {(\int u (x) d x)}^{'} + x' \cdot u (x) + x \cdot u' (x) = = 2 u (x) + x \cdot u' (x)$

Производим подстановку в исходное выражение. Запишем равенство вида:

$y'' - y' + \frac{y}{x} = 0 \Leftrightarrow 2 u + x \cdot u' - \frac{y}{x} - x \cdot u + \frac{y}{x} = 0 \Leftrightarrow 2 u + x \cdot u' - x \cdot u = 0 \Leftrightarrow x \cdot \frac{d u}{d x} + u \cdot (- x + 2) = 0 \Leftrightarrow \frac{d u}{u} = (1 - \frac{2}{x}) d x, u = 0$

Интегрируем обе части выражения и получаем, что $\ln openu| + C_{1} = x - 2 \ln openx| + C_{2} \Leftrightarrow \ln openu| = x + \ln \frac{1}{x^{2}} + C_{2} - C_{1}$ . Переходим к записи общего вида выражения. Тогда она примет вид $u = C \cdot \frac{e^{x}}{x^{2}}$ с $C$ являющейся произвольной постоянной.

Ответ: из выражения $y = x \cdot \int u d x$ очевидно, что общее решение заданного ЛОДУ примет вид $y = x \cdot C \cdot \int \frac{e^{x}}{x^{2}} d x = x \cdot C \cdot (F (x) + C_{3})$ , когда $F (x)$ считается одной из первообразных функции $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ .

Для решения неоднородного дифференциального уравнения $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = f (x)$ нужно подбирать $\tilde{y}$ , если возможно найти $y_{1}$ и $y_{2}$ . Поиск общего решения производится при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случаем ЛОДУ принимает вид $y_{0} = C_{1} \cdot y_{1} + C_{2} \cdot y_{2}$ . Преобразовывая произвольные постоянные для общего решения, ЛНДУ принимает вид $y_{0} = C_{1} (x) \cdot y_{1} + C_{2} (x) \cdot y_{2}$ , где производные неизвестных функций $C_{1} (x)$ и $C_{2} (x)$ можно определить из системы вида $open\begin{array}{l} C_{1}' (x) \cdot y_{1} + C_{2}' (x) \cdot y_{2} = 0 \\ C_{1}' (x) \cdot y_{1}' + C_{2}' (x) \cdot y_{2}' = f (x) \end{array}$ , а получение самих функций производится путем интегрирования.

Пример 2

Найти общее решение уравнения $y'' - y = 2^{x}$ .

Решение

Для решения необходимо обратить внимание на его частные решения. Для ЛОДУ $y'' - y = 0$ они являются $y_{1} = e^{- x}$ и $y_{2} = e^{x}$ , то есть выражение вида $y_{0} = C_{1} \cdot e^{- x} + C_{2} \cdot e^{x}$ . Изменяя постоянные, общее решение получит вид

$y = C_{1} (x) \cdot e^{- x} + C_{2} (x) \cdot e^{x}$ .

Необходимо составить систему линейных уравнений и решить

$open\begin{array}{l} C_{1}' (x) \cdot y_{1} + C_{2}' (x) \cdot y_{2} = 0 \\ C_{1}' (x) \cdot y_{1}' + C_{2}' (x) \cdot y_{2}' = f (x) \end{array} \Leftrightarrow open\begin{array}{l} C_{1}' (x) \cdot e^{- x} + C_{2}' (x) \cdot e^{x} = 0 \\ - C_{1}' (x) \cdot e^{- x} + C_{2}' (x) \cdot e^{x} = 2^{x} \end{array}$

Чтобы разрешить ее, следует применить метод Крамера. Тогда

$∆ = open\begin{matrix} e^{- x} & e^{x} \\ - e^{- x} & e^{x} \end{matrix}| = e^{- x} \cdot e^{x} + e^{- x} \cdot e^{x} = 2 ∆_{C_{1}' (x)} = open\begin{matrix} 0 & e^{x} \\ 2^{x} & e^{x} \end{matrix}| = - (2 e)^{x} \Rightarrow C_{1}' (x) = \frac{∆_{C_{1}' (x)}}{∆} = - \frac{1}{2} \cdot {(2 e)}^{x} ∆_{{C_{2}}^{'} (x)} = open\begin{matrix} e^{- x} & 0 \\ - e^{- x} & 2^{x} \end{matrix}| = {(\frac{2}{e})}^{x} \Rightarrow {C_{2}}^{'} = \frac{∆_{C_{2}' (x)}}{∆} = \frac{1}{2} \cdot {(\frac{2}{e})}^{x}$

После интегрирования полученных выражений для того, чтобы найти $C_{1} (x)$ и $C_{2} (x)$ , запишем, что

$C_{1} (x) = - \frac{1}{2} \cdot \int (2 e)^{x} d x = - \frac{1}{2} \cdot \frac{(2 e)^{x}}{\ln (2 e)} + C_{3} = = - \frac{1}{2} \cdot \frac{(2 e)^{x}}{\ln 2 + 1} + C_{3} C_{2} (x) = \frac{1}{2} \cdot \int {(\frac{2}{e})}^{x} d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln \frac{2}{e}} \cdot {(\frac{2}{e})}^{x} + C_{4} = = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln 2 - 1} \cdot {(\frac{2}{e})}^{x} + C_{4}$

Ответ: общим решением для заданного уравнения получим уравнение вида

$y = (- \frac{1}{2} \cdot \frac{(2 e)^{x}}{\ln 2 + 1} + C_{3}) \cdot e^{- x} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln 2 - 1} \cdot {(\frac{2}{e})}^{x} + C_{4}) \cdot e^{x}$ .

Итоги

Поиск общего решения ЛОДУ $2$ порядка $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = 0$ выполняется из $y_{0} = C_{1} \cdot y_{1} + C_{2} \cdot y_{2}$ , где $y_{1}$ и $y_{2}$ считаются линейно независимыми частными решениями. Для подбора частных решений $y_{1}$ и $y_{2}$ чаще всего начинается с нахождения общего дифференциального уравнения $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = 0$ . Когда подбор невозможен, тогда производится снижение порядка с помощью замены $y = y_{1} \cdot \int u (x) d x$ , причем его решение приведет к общему виду ЛОДУ второго прядка.
Поиск общего решения ЛНДУ $2$ порядка вида $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = f (x)$ производится с помощью $y = y_{0} + \tilde{y}$ , где $\tilde{y}$ является любым частным решением, а $y_{0}$ считают в качестве общего решения ЛОДУ. Нахождение $y_{0}$ _,то есть общего дифференциального уравнения $y'' + p (x) \cdot y' + q (x) \cdot y = 0$ , производится первоначально. После чего производится подбор $\tilde{y}$ . Если необходимо, то в начале производится подбор $y_{1}$ и $y_{2}$ для определения общего решения ЛНДУ с помощью применения метода вариации произвольных постоянных.