Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК

15 февраля 2023
10 минут
22 408

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Что такое нок в математике? Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы узнаем, как найти наименьшее общее кратное, какие есть для этого способы для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как находить НОК отрицательного числа. Также разберемся, что такое нок и нод, как найти нок и нод.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Мы уже узнали, что такое нок, а также установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем (кратность показывает в расчетах во сколько раз один показатель больше другого). Теперь как настоящие математики научимся определять НОК через НОД (нок и нод чисел натуральных). Сначала разберемся, как найти нок для положительных чисел. Сделать это можно и онлайн или на калькуляторе, но лучше научиться самостоятельно.

Определение 1

Поиск наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель можно по формуле НОК $(a, b) = a \cdot b :$ НОД $(a, b)$ .

Пример 1

Необходимо найти НОК чисел $126$ и $70$ .

Решение

Начнем решать. Примем $a = 126, b = 70$ . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК $(a, b) = a \cdot b :$ НОД $(a, b)$ .

Найдем НОД чисел $70$ и $126$ . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: $126 = 70 \cdot 1 + 56, 70 = 56 \cdot 1 + 14, 56 = 14 \cdot 4$ , следовательно, NOD $(126, 70) = 14$ .

Вычислим НОК: НОК $(126, 70) = 126 \cdot 70 :$ НОД $(126, 70) = 126 \cdot 70 : 14 = 630$ .

Ответ: NOC $(126, 70) = 630$ .

Пример 2

Найдите нок чисел $68$ и $34$ .

Решение

Как находить нод? НОД в данном случае нейти несложно, так как $68$ делится на $34$ . Вычислим самое маленькое общее кратное по формуле: НОК $(68, 34) = 68 \cdot 34 :$ НОД $(68, 34) = 68 \cdot 34 : 34 = 68$ .

Ответ: НОК $(68, 34) = 68$ .

В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел $a$ и $b$ : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители. Перед тем, как это узнавать, дадим небольшое определение.

Определение 2

Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
исключаем их полученных произведений все простые множители;
полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК $(a, b) = a \cdot b :$ НОД $(a, b)$ . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел $a$ и $b$ равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.

Пример 3

У нас есть два числа $75$ и $210$ . Мы можем разложить их на множители следующим образом: $75 = 3 \cdot 5 \cdot 5$ и $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: $2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ .

Если исключить общие для обоих чисел множители $3$ и $5$ , мы получим произведение следующего вида: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 1050$ . Это произведение и будет нашим НОК для чисел $75$ и $210$ .

Пример 4

Найдите НОК чисел $441$ и $700$ , разложив оба числа на простые множители.

Решение

Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

$\begin{matrix} 441 \\ 147 \\ 49 7 1 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 7 7 \end{matrix}$ $\begin{matrix} \end{matrix}$

$\begin{matrix} 700 \\ 350 \\ 175 35 7 1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 5 5 7 \end{matrix}$

Получаем две цепочки чисел: $441 = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ и $700 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ .

Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ . Найдем общие множители. Это число $7$ . Исключим его из общего произведения: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7$ . Получается, что НОК $(441, 700) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 = 44 100$ .

Ответ: НОК $(441, 700) = 44 100$ .

Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

Определение 3

Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

разложим оба числа на простые множители:
добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

Пример 5

Вернемся к числам $75$ и $210$ , для которых мы уже пробовали искать НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: $75 = 3 \cdot 5 \cdot 5$ и $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ . К произведению множителей $3, 5$ и $5$ числа $75$ добавим недостающие множители $2$ и $7$ числа $210$ . Получаем: $2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7$ . Это и есть НОК чисел $75$ и $210$ .

Пример 6

Необходимо вычислить НОК чисел $84$ и $648$ .

Решение

Разложим числа из условия на простые множители: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7$ и $648 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ . Добавим к произведению множителей $2, 2, 3$ и $7$ числа $84$ недостающие множители $2, 3, 3$ и
$3$ числа $648$ . Получаем произведение $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 = 4536$ . Это и есть наименьшее общее кратное чисел $84$ и $648$ .

Ответ: НОК $(84, 648) = 4 536$ .

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

Теорема 1

Предположим, что у нас есть целые числа $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ . НОК $m_{k}$ этих чисел находится при последовательном вычислении $m_{2} =$ НОК $(a_{1}, a_{2}), m_{3} =$ НОК $(m_{2}, a_{3}), \dots, m_{k} =$ НОК $(m_{k - 1}, a_{k})$ .

Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

Пример 7

Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел $140, 9, 54$ и $250$ .

Решение задания

Введем обозначения: $a_{1} = 140, a_{2} = 9, a_{3} = 54, a_{4} = 250$ .

Начнем с того, что вычислим $m_{2} =$ НОК $(a_{1}, a_{2}) =$ НОК $(140, 9)$ . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел $140$ и $9$ : $140 = 9 \cdot 15 + 5, 9 = 5 \cdot 1 + 4, 5 = 4 \cdot 1 + 1, 4 = 1 \cdot 4$ . Получаем: НОД $(140, 9) = 1$ , НОК $(140, 9) = 140 \cdot 9 :$ НОД $(140, 9) = 140 \cdot 9 : 1 = 1 260$ . Следовательно, $m_{2} = 1 260$ .

Теперь вычислим по тому е алгоритму $m_{3} =$ НОК $(m_{2}, a_{3}) =$ НОК $(1 260, 54)$ . В ходе вычислений получаем $m_{3} = 3 780$ .

Нам осталось вычислить $m_{4} =$ НОК $(m_{3}, a_{4}) =$ НОК $(3 780, 250)$ . Действуем по тому же алгоритму. Получаем $m_{4} = 94 500$ .

НОК четырех чисел из условия примера равно $94500$ .

Ответ: НОК $(140, 9, 54, 250) = 94 500$ .

Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

Определение 4

Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

раскладываем все числа на простые множители;
к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

Пример 8

Необходимо найти НОК пяти чисел $84, 6, 48, 7, 143$ .

Решение

Разложим все пять чисел на простые множители: $84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7, 6 = 2 \cdot 3, 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3, 7, 143 = 11 \cdot 13$ . Простые числа, которым является число $7$ , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

Теперь возьмем произведение простых множителей $2, 2, 3$ и $7$ числа $84$ и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число $6$ на $2$ и $3$ . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу $48$ , из произведения простых множителей которого берем $2$ и $2$ . Затем добавляем простой множитель $7$ от четвертого числа и множители $11$ и $13$ пятого. Получаем: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 48 048$ . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

Ответ: НОК $(84, 6, 48, 7, 143) = 48 048$ .

Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

Для того чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

Пример 9

НОК $(54, - 34) =$ НОК $(54, 34)$ , а НОК $(- 622, - 46, - 54, - 888) =$ НОК $(622, 46, 54, 888)$ .

Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что $a$ и $- a$ – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа $- a$ .

Пример 10

Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел $- 145$ и $- 45$ .

Решение

Произведем замену чисел $- 145$ и $- 45$ на противоположные им числа $145$ и $45$ . Теперь по алгоритму вычислим НОК $(145, 45) = 145 \cdot 45 :$ НОД $(145, 45) = 145 \cdot 45 : 5 = 1 305$ , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

Получим, что НОК чисел $- 145$ и $- 45$ равно $1 305$ .

Ответ: НОК $(- 145, - 45) = 1 305$ .