Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства

28 марта 2023
8 минут
2 216

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.

Общие кратные – определение, примеры

В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.

Определение 1

Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.

Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.

Пример 1

Согласно данному выше определению для числа $12$ общими кратными числами будут $3$ и $2$ . Также число $12$ будет общим кратным для чисел $2, 3$ и $4$ . Числа $12$ и $- 12$ являются общими кратными числами для чисел $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ .

В то же время общим кратным числом для чисел $2$ и $3$ будут числа $12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004$ и целый ряд любых других.

Если мы возьмем числа, которые делятся на первое число из пары и не делятся на второе, то такие числа не будут общими кратными. Так, для чисел $2$ и $3$ числа $16, - 27, 5 009, 27 001$ не будут общими кратными.

$0$ является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.

Если вспомнить свойство делимости относительно противоположных чисел, то получается, что некоторое целое число $k$ будет общим кратным данных чисел точно также, как и число $- k$ . Это значит, что общие делители могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для всех ли чисел можно найти НОК?

Общее кратное можно найти для любых целых чисел.

Пример 2

Предположим, что нам даны $k$ целых чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ . Число, которое мы получим в ходе умножения чисел $a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{k}$ согласно свойству делимости будет делиться на каждый из множителей, который входил в изначальное произведение. Это значит, что произведение чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ является наименьшим общим кратным для этих чисел.

Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?

Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.

Пример 3

Предположим, что у нас есть некоторое число $k$ . Тогда произведение чисел $k \cdot z$ , где $z$ – это целое число, будет являться общим кратным чисел $k$ и $z$ . С учетом того, что количество чисел бесконечно, то и количество общих кратных бесконечно.

Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры

Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.

Определение 2

Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.

Наименьшее общее кратное существует для любого количества данных чисел. Наиболее употребимой для обозначения понятия в справочной литературе является аббревиатура НОК. Краткая запись наименьшего общего кратного для чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ будет иметь вид НОК $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})$ .

Пример 4

Наименьшее общее кратное чисел $6$ и $7$ – это $42$ . Т.е. НОК $(6, 7) = 42$ . Наименьшее общее кратное четырех чисел $- 2, 12, 15$ и $3$ будет равно $60$ . Краткая запись будет иметь вид НОК $(- 2, 12, 15, 3) = 60$ .

Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.

Теорема 1

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел $a$ и $b$ равно произведению чисел $a$ и $b$ , деленному на наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ , то есть, НОК $(a, b) = a \cdot b :$ НОД $(a, b)$ .

Доказательство 1

Предположим, что мы имеем некоторое число $M$ , которое кратно числам $a$ и $b$ . Если число $M$ делится на $a$ , также существует некоторое целое число $z$ , при котором справедливо равенство $M = a \cdot k$ . Согласно определению делимости, если $M$ делится и на $b$ , то тогда $a \cdot k$ делится на $b$ .

Если мы введем новое обозначение для НОД $(a, b)$ как $d$ , то сможем использовать равенства $a = a_{1} \cdot d$ и $b = b_{1} \cdot d$ . При этом оба равенства будут взаимно простыми числами.

Мы уже установили выше, что $a \cdot k$ делится на $b$ . Теперь это условие можно записать следующим образом:
$a_{1} \cdot d \cdot k$ делится на $b_{1} \cdot d$ , что эквивалентно условию $a_{1} \cdot k$ делится на $b_{1}$ согласно свойствам делимости.

Согласно свойству взаимно простых чисел, если $a_{1}$ и $b_{1}$ – взаимно простые числа, $a_{1}$ не делится на $b_{1}$ при том, что $a_{1} \cdot k$ делится на $b_{1}$ , то $b_{1}$ должно делиться $k$ .

В этом случае уместно будет предположить, что существует число $t$ , для которого $k = b_{1} \cdot t$ , а так как $b_{1} = b : d$ , то $k = b : d \cdot t$ .

Теперь вместо k подставим в равенство $M = a \cdot k$ выражение вида $b : d \cdot t$ . Это позволяет нам прийти к равенству $M = a \cdot b : d \cdot t$ . При $t = 1$ мы можем получить наименьшее положительное общее кратное чисел $a$ и $b$ , равное $a \cdot b : d$ , при условии, что числа $a$ и $b$ положительные.

Так мы доказали, что НОК $(a, b) = a \cdot b :$ НОД $(a, b)$ .

Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.

Определение 3

Теорема имеет два важных следствия:

кратные наименьшего общего кратного двух чисел совпадает с общими кратными этих двух чисел;
наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел $a$ и $b$ равно их произведению.

Обосновать эти два факта не составляет труда. Любое общее кратное $M$ чисел $a$ и $b$ определяется равенством $M =$ НОК $(a, b) \cdot t$ при некотором целом значении $t$ . Так как $a$ и $b$ взаимно простые, то НОД $(a, b) = 1$ , следовательно, НОК $(a, b) = a \cdot b :$ НОД $(a, b) = a \cdot b : 1 = a \cdot b$ .

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.

Теорема 2

Предположим, что $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ – это некоторые целые положительные числа. Для того, чтобы вычислить НОК m_k этих чисел, нам необходимо последовательно вычислить $m_{2} =$ НОК $(a_{1}, a_{2}), m_{3} =$ НОК $(m_{2}, a_{3}), \dots, m_{k} =$ НОК $(m_{k} - 1, a_{k})$ .

Доказательство 2

Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму:

общие кратные чисел $a_{1}$ и $a_{2}$ совпадают с кратными их НОК, фактически, они совпадают с кратными числа $m_{2}$ ;
общие кратные чисел $a_{1}$ , $a_{2}$ и $a_{3}$ совпадают с общими кратными чисел $m_{2}$ и $a_{3}$ , следовательно, совпадают с кратными числа $m_{3}$ ;
общие кратные чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ совпадают с общими кратными чисел $m_{k - 1}$ и $a_{k}$ , следовательно, совпадают с кратными числа $m_{k}$ ;
в связи с тем, что наименьшим положительным кратным числа $m_{k}$ является само число $m_{k}$ , то наименьшим общим кратным чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ является $m_{k}$ .

Так мы доказали теорему.