Автор статьи

Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik

Основная теорема арифметики: формулировка, доказательство

Содержание:
  1. Две вспомогательные теоремы для доказательства основной теоремы арифметики
  2. Формула и доказательство основной теоремы арифметики

Данный материал мы посвятим теоретическим основам разложения чисел на некоторые простые множители. Это называется основной теоремой арифметики. В начале мы приведем ее формулировку, а потом обоснуем и докажем.

Две вспомогательные теоремы для доказательства основной теоремы арифметики

Согласно основной теореме арифметики, любое целое число, большее 11, может быть разложено на простые множители. Перед тем, как переходить к формулировке и доказательствам, запишем две теоремы, которые нам в этом помогут.

Теорема 1

Любое положительное число aa, не равное 11, можно разделить на число pp, если оно не является по отношению к aa взаимно обратным числом.

Доказательство 1

Докажем это утверждение. Наибольшим общим делителем двух чисел aa и pp будет pp. Поскольку pp является простым числом, то у него всего два положительных делителя - единица и оно само. Значит, наибольший общий делитель (НОД) aa и pp будет равен либо единице, либо pp. Если мы возьмем случай с единицей, то получим, что aa и pp будут взаимно простыми числами. Во втором случае, если aa можно разделить на НОД (a, p)(a, p), то a делится на pp.

Вторая теорема выглядит так:

Теорема 2

Если у нас есть произведение нескольких целых положительных множителей, не равных единице, которое можно разделить на число pp, то на это же число можно разделить хотя бы один из множителей.

Доказательство 2

Перейдем к доказательству. Согласно первой теореме, каждый множитель по отношению к pp либо является взаимно простым, либо может быть разделен на pp. Если бы все множители были взаимно простыми с pp, то данное произведение целиком было бы таким же, что следует из свойств взаимно простых чисел. Следовательно, на pp можно разделить хотя бы один из множителей.

Формула и доказательство основной теоремы арифметики

После того, как мы сформулировали две вспомогательные теоремы, мы можем перейти к основной теореме арифметики.

Теорема 3

Любое целое число, большее единицы, может быть разделено на простые множители, причем это разложение будет единственным (изменение порядка следования множителей не в счет).

Доказательство 3

Докажем данную теорему. Возьмем целое число aa, которое будет больше 11, и докажем, что его вообще можно разложить на множители. Возьмем наименьший положительный делитель данного числа, не равный единице, и обозначим его p1p1.  Исходя из теоремы, доказательство которой мы приводили в статье о таблице простых чисел, данное число будет простым. Тогда, согласно определению делимости, должно существовать такое целое число, для которого a=p1·a1a=p1a1. Если a1a1 будет больше 11, то должно существовать число, являющееся его наименьшим простым делителем, значит, a1=p2·a2a1=p2a2 и a=p1·p2·a2a=p1p2a2.

Проводим такие подсчеты до тех пор, пока у нас не получится a=1a=1. Такой итог неизбежен, поскольку a, a1, a2,  a, a1, a2,  является последовательностью целых чисел в убывающем порядке. Таким образом, число a всегда может быть разложено на простые множители вида a=p1·p2··pn. Если показатель n будет равен единице, то у нас получится, что a=p1. Это разложение подходит для простого числа.

Теперь нам надо доказать, что подобное разложение будет единственным. Допустим, что помимо a=p1·p2··pn есть и другое разложение. Обозначим его a=q1·q2··qm. Следовательно, в таком случае было бы справедливым равенство p1·p2··pn=q1·q2··qm. Докажем, что если n не равен m, то данное равенство будет невозможным, а при равенстве показателей эти произведения p1·p2··pn и q1·q2··qm будут тождественно равными.

Мы можем разделить правую часть равенства на q. Тогда, согласно предыдущей теореме, у нас должен быть хотя бы один множитель из последовательности p1, p2, , pn, который можно разделить на q1. Например, предположим, что p1делится на q1, но поскольку оба этих числа являются простыми, то p1 делится на q1 только тогда, когда q1=p1. Тогда мы можем сократить правую и левую часть равенства: p1·p2··pn=q1·q2··qm на q1=p1. Получаем, что p2··pn=q2··qm.

Повторяем те же действия с p2 и q2 и приходим к равенству p3··pn=q3··qm. Действуем так до тех пор, пока не сократим все множители. Если n не равен m, то у нас будет равенство 1=qn+1··qm, и pm+1··pn=1. Для простых чисел они невозможны. Если же показатели равны друг другу, то мы придем к тождеству 1=1, что говорит нам о тождественном равенстве разложений a=p1·p2··pn и a=q1·q2··qm. На этом единственность разложения на простые множители можно считать доказанной.

Подводя итоги, заметим, что основная теорема арифметики может также называться теоремой о разложении чисел на простые множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Сохранить статью удобным способом

Навигация по статьям

Наши социальные сети
Не получается написать работу самому?
Доверь это кандидату наук!
Связаться через
Я принимаю условия пользовательского соглашения и  политики приватности, а также даю свое согласие на обработку моих персональных данных
Выполненные работы по математике
  • Математика

    Линейная алгебра и геометрия Теория вероятностей

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      17 мая 2012

    • Стоимость:

      600 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    теория вероятности

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      16 апреля 2012

    • Стоимость:

      500 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    исследование функции и построение графика

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      27 марта 2012

    • Стоимость:

      200 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    две контрольных работы

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      25 января 2012

    • Стоимость:

      1 100 руб.

    Заказать такую же работу
  • Математика

    контрольная работа

    • Вид работы:

      Контрольная работа

    • Выполнена:

      24 января 2012

    • Стоимость:

      700 руб.

    Заказать такую же работу