Признак делимости на 2: примеры, доказательство

Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на $2$ . В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на $2$ . Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.

Формулировка и примеры признака делимости на $2$

Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:

Определение 1

Целое число, которое заканчивается цифрами $8, 6, 4, 2$ и $0$ , может быть разделено на $2$ без остатка. Если в конце числа стоит цифра $9, 7, 5, 3$ или $1$ , то такое число делимостью на $2$ не обладает.

С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на $2$ без остатка.

Приведем несколько примеров использования признака в задачах.

Пример 1

Условие: определите, какие из чисел $8, - 946, 53, 10900, - 988123761$ можно разделить на два.

Решение

Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.

Три числа из перечисленных, а именно $8, - 946$ и $10900$ , имеют в конце цифры $8, 6$ и $0$ , значит, их деление на $2$ возможно.

Остальные числа ( $53$ и $- 988123761$ ) заканчиваются на $3$ и $1$ , значит, нацело на два они не делятся.

Ответ: на два можно разделить $8$ , $- 946$ и $10900$ , а все прочие заданные числа нельзя.

Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.

Пример 2

Условие: выполните разложение $352$ на простые множители.

Решение

Поскольку последняя цифра в исходном числе $- 2$ , то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка. Сделаем это: $352 : 2 = 176$ , а $352 = 2 \cdot 176$ . Полученное число $176$ тоже делится на два: $176 : 2 = 88$ , а $176 = 2 \cdot 88$ . Это число тоже можно разделить: $88 : 2 = 44$ , $88 = 2 \cdot 44$ и $352 = 2 \cdot 2 \cdot 88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 44$ . Продолжаем разложение: $44 : 2 = 22$ и $44 = 2 \cdot 22$ , следовательно, $352 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22$ ; потом $22 : 2 = 11$ , откуда $22 = 2 \cdot 11$ и $352 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 22 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11$ . Наконец мы дошли до числа, которое на $2$ не делится. Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.

Ответ: $352 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11$ .

Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на $2$ или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру $0, 2, 4, 6$ или $8$ , а все нечетные – $1, 3, 5, 7$ или $9$ .

Как можно доказать признак делимости на $2$

Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:

Определение 2

Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.

Пользуясь правилом умножения натурального числа на $10$ , мы можем представить некое число $a$ как $a = a_{1} \cdot 10$ . Число $a_{1}$ , в свою очередь, получится из $a$ , если убрать у него последнюю цифру.

Приведем примеры такого действия: $470 = 47 \cdot 10$ , где $a = 470$ и $a_{1} = 47$ ; или же $38010 \cdot 10$ , здесь $a = 380100$ и $a_{1} = 38010$ . Второй множитель в этом произведении $(10)$ может быть разделен на $2$ , значит, все произведение может быть разделено на $2$ . Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

Переходим к доказательству признака делимости на $2$ . Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.

Теорема 1

Для деления целого числа $a$ на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры $0, 2, 4, 6$ или $8$ .

Доказательство 1

Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число $a$ в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ . Здесь $a_{1}$ будет числом, получившимся из $a$ при устранении последней цифры, а $a_{0}$ соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения $49 = 4 \cdot 10 + 9, 28378 = 2837 \cdot 10 + 8$ ). Произведение $a_{1} \cdot 10$ , взятое из равенства $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ , всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.

Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство $t = u + v$ , и два из них делятся на целое число $z$ , то и третье число также можно разделить на $z$ .

Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ , число $a_{0}$ будет делиться на два, а такое возможно, только если $a_{0} = 0, 2, 4, 6$ или $8$ .

А если $a$ на $2$ не делится, то исходя из того же самого свойства, число $a_{0}$ на $2$ тоже делиться не будет, что возможно только при $a_{0} = 1, 3, 5, 7$ или $9$ . Это и есть нужное нам доказательство необходимости.

Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число $a$ , последней цифрой которого является число $0, 2, 4, 6$ или $8$ , то $a_{0}$ делится на $2$ . Указанное свойство делимости и представление $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ позволяют нам заключить, что $a$ делится на $2$ . Если $a$ имеет последнюю цифру $1, 3, 5, 7$ или $9$ , то то $a_{0}$ не делится на $2$ , значит, a тоже не делится на $2$ , иначе само представление $a = a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ делилось бы на $2$ , что невозможно. Достаточность условия доказана.

В конце отметим, что числа с последней цифрой $1, 3, 5, 7$ или $9$ при делении на два всегда дают в остатке единицу.

Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как $a = b + 1$ , при этом число $b$ будет иметь в качестве последней цифры $0, 2, 4, 6$ или $8$ . В силу признака делимости на $2$ число $b$ можно разделить на $2$ , значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде $b = 2 \cdot q$ , где $q$ будет некоторым целым числом. Мы получили, что $a = 2 \cdot q + 1$ . Данное представление показывает нам, что при делении числа $a$ на $2$ получается неполное частное $q$ и остаток $1$ (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).

Прочие случаи определения делимости на $2$

В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на $2$ нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на $2$ тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на $2$ и исходного выражения.

Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.

Пример 3

Условие: определите, можно ли разделить на $2$ значение выражения $3^{n} + 4 n - 1$ для некоторого натурального $n$ .

Решение

Сначала запишем очевидное равенство $3^{n} + 4 n - 1 = {(2 + 1)}^{n} + 4 n - 1$ . Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:

$3^{n} + 4 n - 1 = {(2 + 1)}^{n} + 4 n - 1 == (C_{n}^{0} \cdot 2^{n} + C_{n}^{1} \cdot 2^{n - 1} \cdot 1 + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 2^{2} + 1^{n - 2} + C_{n}^{n} \cdot 2 + 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) + + 4 n - 1 = (2^{n} + C_{n}^{1} \cdot 2^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 2^{2} + n \cdot 2 + 1) + + 4 n - 1 = 2^{n} + C_{n}^{1} \cdot 2^{n - 1} + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 2^{2} + 6 n$

В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:

$3^{n} + 4 n - 1 = 2 \cdot (2^{n - 1} + C_{n}^{1} \cdot 2^{n - 2} + \dots + C_{n}^{n - 2} \cdot 2 + 3 n)$

В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении $n$ , поскольку там есть множитель, равный $2$ . Поскольку между выражениями стоит знак равенства, то выполнить деление на $2$ можно и для левой части.

Ответ: данное выражение можно разделить на $2$ .

Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.

Пример 4

Условие: выясните, будет ли выражение $3^{n} + 4 n - 1$ делиться на $2$ при любом натуральном значении $n$ .

Решение

Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения $3^{n} + 4 n - 1$ при $n$ , равном единице, можно разделить на $2$ . У нас получится $3^{1} + 4 \cdot 1 - 1 = 6$ , шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем $n$ , равное $k$ , и сделаем предположение, что $3^{k} + 4 k - 1$ делится на два.

Используя данное предположение, докажем, что $3^{n} + 4 n - 1$ можно разделить на $2$ , если это возможно для $3^{k} + 4 k - 1$ . Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.

$3 \cdot (3^{k} + 4 k - 1)$ делится на два, поскольку это возможно для $3^{k} + 4 k - 1$ , выражение $2 \cdot (4 k - 3)$ тоже можно поделить на $2$ , потому что у него есть множитель $2$ , значит, разность этих двух выражений тоже делится на $2$ , что объясняется соответствующим свойством делимости.

Ответ: выражение $3^{n} + 4 n - 1$ делится на $2$ при любом натуральном $n$ .

Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.

Замечание 1

К примеру, выражение вида $(n + 7) \cdot (n - 1) \cdot (n + 2) \cdot (n + 6)$ делится на $2$ при любом натуральном значении $n$ , поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это $n + 6$ и $n + 7$ .

Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на $2$ . Так, на два делится значение $(n + 1) \cdot (n + 6)$ при любом натуральном $n$ , поскольку между $n + 5$ и $n + 6$ расположено четное количество чисел: $n + 2, n + 3, n + 4$ и $n + 5$ .

Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при $n = 2 \cdot m$ , а также при $n = 2 \cdot m + 1$ и произвольном целом $m$ , то это будет доказательством делимости исходного выражения на $2$ при любых целых значениях $n$ .

Пример 5

Условие: выясните, делится ли на $2$ выражение $n^{3} + 7 \cdot n^{2} + 16 \cdot n + 12$ при любых натуральных значениях $n$ .

Решение

Сначала представим данное выражение в виде произведения $(n + 2)^{2} \cdot (n + 3)$ . При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя $n + 2$ и $n + 3$ , которые соответствуют числам, стоящим рядом в натуральном ряду. Одно из них в любом случае делится на $2$ , значит, и все произведение тоже делится на $2$ . То же относится и к исходному выражению.

У этой задачи есть и другое решение. Если $n = 2 \cdot m$ , то ${(n + 2)}^{2} \cdot (n + 3) = {(2 m + 2)}^{2} \cdot {(2 m + 2)}^{2} = 4 \cdot {(m + 1)}^{2} \cdot (2 m + 3)$ . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на $2$ .

Если же $n = 2 \cdot m + 1$ , то

$(n + 2)^{2} \cdot (n + 3) = {(2 m + 1 + 2)}^{2} \cdot (2 m + 1 + 3) = {(2 m + 3)}^{2} \cdot (2 m + 4) == {(2 m + 3)}^{2} \cdot 2 \cdot 2$

Здесь присутствует множитель $2$ , значит, все произведение обладает делимостью на $2$ .

Ответ: это и есть доказательство того, что выражение $n^{3} + 7 \cdot n^{2} + 16 \cdot n + 12 = (n + 2)^{2} \cdot (n + 3)$ можно разделить на два при любом натуральном значении $n$ .