Признак делимости на 2: примеры, доказательство

Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на $2$. В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на $2$. Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.

Формулировка и примеры признака делимости на $2$

Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:

С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на $2$ без остатка.

Приведем несколько примеров использования признака в задачах.

Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.

Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на $2$ или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру $0, 2, 4, 6$ или $8$, а все нечетные – $1, 3, 5, 7$ или $9$.

Как можно доказать признак делимости на $2$

Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:

Пользуясь правилом умножения натурального числа на $10$, мы можем представить некое число $a$ как $a=a_1·10$. Число $a_1$, в свою очередь, получится из $a$, если убрать у него последнюю цифру.

Приведем примеры такого действия: $470=47·10$, где $a=470$ и $a_1 =47$; или же $38 010·10$, здесь $a=380 100$ и $a_1=38 010$. Второй множитель в этом произведении $\left(10\right)$ может быть разделен на $2$, значит, все произведение может быть разделено на $2$. Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

Переходим к доказательству признака делимости на $2$. Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.

Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число $a$, последней цифрой которого является число $0, 2, 4, 6$или $8$, то $a_0$ делится на $2$. Указанное свойство делимости и представление $a=a_1·10+a_0$ позволяют нам заключить, что $a$ делится на $2$. Если $a$ имеет последнюю цифру $1, 3, 5, 7$ или $9$, то то $a_0$ не делится на $2$, значит, a тоже не делится на $2$, иначе само представление $a=a_1·10+a_0$ делилось бы на $2$, что невозможно. Достаточность условия доказана.

В конце отметим, что числа с последней цифрой $1, 3, 5, 7$ или $9$ при делении на два всегда дают в остатке единицу.

Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как $a=b+1$, при этом число $b$ будет иметь в качестве последней цифры $0, 2, 4, 6$ или $8$. В силу признака делимости на $2$ число $b$ можно разделить на $2$, значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде $b=2·q$, где $q$ будет некоторым целым числом. Мы получили, что $a=2·q+1$. Данное представление показывает нам, что при делении числа $a$ на $2$ получается неполное частное $q$ и остаток $1$ (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).

Прочие случаи определения делимости на $2$

В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на $2$ нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на $2$ тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на $2$ и исходного выражения.

Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.

Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.

Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.

Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на $2$. Так, на два делится значение $(n+1)·(n+6)$ при любом натуральном $n$, поскольку между $n+5$ и $n+6$ расположено четное количество чисел: $n+2, n+3, n+4$ и $n+5$.

Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при $n=2·m$, а также при $n=2·m+1$ и произвольном целом $m$, то это будет доказательством делимости исходного выражения на $2$ при любых целых значениях $n$.