Признак делимости на 6, примеры, доказательство

27 июня 2023
9 минут
6 495

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Данная статья раскрывает смысл признака делимости на $6$ . Будет введена его формулировка с примерами решений. Ниже приведем доказательство признака делимости на $6$ на примере некоторых выражений.

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на $6$ включает в себя признак делимости на $2$ и на $3$ : если число оканчивается на цифры $0, 2, 4, 6, 8$ , а сумма цифр делится без остатка на $3$ , значит, такое число делится на $6$ ; при отсутствии хотя бы одного условия заданное число на $6$ не поделится. Иначе говоря, число будет делиться на $6$ , когда оно поделится на $2$ и на $3$ .

Применение признака делимости на $6$ работает в $2$ этапа:

проверка делимости на $2$ , то есть число должно оканчиваться на $2$ для явной делимости на 2, при отсутствии цифр $0, 2, 4, 6, 8$ в конце числа деление на $6$ невозможно;
проверка делимости на $3$ , причем проверка производится при помощи деления суммы цифр числа на $3$ без остатка, что означает возможность делимости всего числа на $3$ ; исходя из предыдущего пункта видно, что все число делится на $6$ , так как выполняются условия для деления на $3$ и на $2$ .

Пример 1

Проверить, может ли число $8 813$ делиться на $6$ ?

Решение

Очевидно, что для ответа нужно обратить внимание на последнюю цифру числа. Так как $3$ не делится на $2$ , отсюда следует, что одно условие не выполняется. Получаем, что заданное число на $6$ не поделится.

Ответ: нет.

Пример 2

Узнать, возможно ли деление числа $934$ на $6$ без остатка.

Решение

Обращаем внимание на последнюю цифру заданного числа. Так как $4$ удовлетворяет первому признаку, то есть делится на $2$ , то следует проверить на выполнимость второе условие. В данном случае сумма цифр должна поделиться на $6$ . Получаем, что из числа $934$ полагается сумма $9 + 3 + 4 = 16$ . Так как $16$ на $3$ не делится, то отсюда делаем вывод, что заданное число на $6$ не поделится.

Ответ: нет.

Пример 3

Проверить делимость на $6$ числа $- 7 269 708$ .

Решение

Переходим к последней цифре числа. Так как ее значение равняется $8$ , то первое условие выполнимо, то есть $8$ делится на $2$ . Переходим к проверке на выполнимость второго условия. Для этого складываем цифры заданного числа $7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39$ . Видно, что $39$ делится на $3$ без остатка. То есть получаем $(39 : 3 = 13)$ . Очевидно, что оба условия выполняются, значит, что заданно число разделится на $6$ без остатка.

Ответ: да, делится.

Чтобы проверить делимость на $6$ , можно выполнить непосредственно деление на число $6$ без проверки признаков делимости на него.

Доказательство признака делимости на 6

Рассмотрим доказательство признака делимости на $6$ с необходимыми и достаточными условиями.

Теорема 1

Для того, чтобы целое число $a$ делилось на $6$ , необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на $2$ и на $3$ .

Доказательство 1

Для начала необходимо доказать, что делимость числа $a$ на $6$ обуславливает его делимость на $2$ и на $3$ . Использование свойства делимости: если целое число делится на $b$ , тогда произведение m·a с m, являющимся целым числом, также делится на $b$ .

Отсюда следует, что при делении $a$ на $6$ можно использовать свойство делимости для того, чтобы представить равенство в виде $a = 6 \cdot q$ , где $q$ является некоторым целым числом. Такая запись произведения говорит о том, что наличие множителя дает гарантию деления на $2$ и на $3$ . Необходимость доказана.

Для полного доказательства делимости на $6$ , следует доказать достаточность. Для этого нужно доказать, что если число делится на $2$ и на $3$ , то оно делится и на $6$ без остатка.

Необходимо применение основной теоремы арифметики. Если произведение нескольких целых положительных и не равных единицам множителей делится на простое число $p$ , тогда хотя бы один множитель делится на $p$ .

Имеем, что целое число $a$ поделится на $2$ , тогда существует такое число $q$ , когда $a = 2 \cdot q$ . Это же выражение делится на $3$ , где $2 \cdot q$ делится на $3$ . Очевидно, что $2$ на $3$ не делится. Из теоремы следует, что $q$ должно делиться на $3$ . Отсюда получим, что имеется целое число $q_{1}$ , где $q = 3 \cdot q_{1}$ . Значит, полученное неравенство вида $a = 2 \cdot q = 2 \cdot 3 \cdot q_{1} = 6 \cdot q_{1}$ говорит о том, что число $a$ будет делиться на $6$ . Достаточность доказана.

Другие случаи делимости на 6

В данном пункте рассматриваются способы доказательств делимости на $6$ с переменными. Такие случаю предусматривают другой метод решения. Имеем утверждение: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение поделится на это число. Иначе говоря, при представленном заданном выражении в виде произведения хотя бы один из множителей делится на $6$ , то все выражение будет делиться на $6$ .

Такие выражения проще решать при помощи подстановки формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Определить, будет ли выражение $7^{n} - 12 n + 11$ делиться на $6$ .

Решение

Представим число $7$ в виде суммы $6 + 1$ . Отсюда получаем запись вида $7^{n} - 12 n + 11 = (6 + 1)^{n} - 12 n + 11$ . Применим формулу бинома Ньютона. После преобразований имеем, что

$7^{n} - 12 n + 11 = (6 + 1)^{n} - 12 n + 11 = = (C_{n}^{0} \cdot 6^{n} + C_{n}^{1} \cdot 6^{n - 1} + . . . + + C_{n}^{n - 2} \cdot 6^{2} \cdot 1^{n - 2} + C_{n}^{n - 1} \cdot 6 \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) - 12 n + 11 = = (6^{n} + C_{n}^{1} \cdot 6^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 6^{2} + n \cdot 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6^{n} + C_{n}^{1} \cdot 6^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 6^{2} - 6 n + 12 = = 6 \cdot (6^{n - 1} + C_{n}^{1} \cdot 6^{n - 2} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 6^{1} - n + 2)$

Полученное произведение делится на $6$ , потому как один из множителей равняется $6$ . Отсюда следует, что $n$ может быть любым целым натуральным числом, причем заданное выражение поделится на $6$ .

Ответ: да.

Когда выражение задается при помощи многочлена, тогда следует произвести преобразования. Видим, что требуется прибегнуть к разложению многочлена на множители. получим, что переменная $n$ примет вид и запишется как $n = 6 \cdot m, n = 6 \cdot m + 1, n = 6 \cdot m + 2, \dots, n = 6 \cdot m + 5$ , число $m$ является целым. Если делимость при каждом $n$ будет иметь смысл, то делимость заданного числа на $6$ при любом значении целого $n$ будет доказана.

Пример 5

Доказать, что при любом значении целого $n$ выражение $n^{3} + 5 n$ поделится на $6$ .

Решение

Для начала разложим на множители заданное выражение и получим, что $n^{3} + 5 n = n \cdot (n^{2} + 5)$ . Если $n = 6 \cdot m$ , тогда $n \cdot (n^{2} + 5) = 6 m \cdot (36 m^{2} + 5)$ . Очевидно, что наличие множителя числа $6$ говорит о том, что выражение делится на $6$ для любого целого значения $m$ .

Если $n = 6 \cdot m + 1$ , получаем

$n \cdot (n^{2} + 5) = (6 m + 1) \cdot ({(6 m + 1)}^{2} + 5) = = (6 m + 1) \cdot (36 m^{2} + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) \cdot 6 \cdot (6 m^{2} + 2 m + 1)$

Произведение будет делиться на $6$ , так как имеет множитель, равняющийся $6$ .

Если $n = 6 \cdot m + 2$ , то

$n \cdot (n^{2} + 5) = (6 m + 2) \cdot ({(6 m + 2)}^{2} + 5) = = 2 \cdot (3 m + 1) \cdot (36 m^{2} + 24 m + 4 + 5) = = 2 \cdot (3 m + 1) \cdot 3 \cdot (12 m^{2} + 8 m + 3) = = 6 \cdot (3 m + 1) \cdot (12 m^{2} + 8 m + 3)$

Выражение будет делиться на $6$ , так как в записи имеется множитель $6$ .

Таким же образом выполняется и для $n = 6 \cdot m + 3, n = 6 \cdot m + 4$ и $n = 6 \cdot m + 5$ . При подстановке придем к тому, что при любом целом значении $m$ эти выражения будут делиться на $6$ . Отсюда следует, что заданное выражение поделится на $6$ при любом целом значении $n$ .

Теперь рассмотрим на примере решения при помощи задействования метода математической индукции. Будет произведено решение по условию первого примера.

Пример 6

Доказать, что выражение вида $7^{n} - 12 n + 11$ будет делиться на $6$ , где примет любые целые значения выражения.

Решение

Данный пример решим по методу математической индукции. Алгоритм выполним строго пошагово.

Произведем проверку делимости выражения на $6$ при $n = 1$ . Тогда получаем выражение вида $7^{1} - 12 \cdot 1 + 11 = 6$ . Очевидно, что $6$ поделится само на себя.

Возьмем $n = k$ в исходном выражении. Когда оно будет делиться на $6$ , тогда можно считать, что $7^{k} - 12 k + 11$ будет делиться на $6$ .

Перейдем к доказательству деления на $6$ выражения вида $7^{n} - 12 n + 11$ при $n = k + 1$ . Отсюда получим, что необходимо доказать делимость выражения $7^{k + 1} - 12 \cdot (k + 1) + 11$ на $6$ , причем следует учитывать то, что $7^{k} - 12 k + 11$ делится на $6$ . Преобразуем выражение и подучим, что

$7^{k + 1} - 12 \cdot (k + 1) + 11 = 7 \cdot 7^{k} - 12 k - 1 = = 7 \cdot (7^{k} - 12 k + 11) + 72 k - 78 = = 7 \cdot (7^{k} - 12 k + 11) + 6 \cdot (12 k - 13)$

Очевидно, что первое слагаемое будет делиться на $6$ , потому как $7^{k} - 12 k + 11$ делится на $6$ . Второе слагаемое также делится на $6$ , потому как один из множителей равен $6$ . Отсюда делаем вывод, что все условия соблюдены, а значит, что вся сумма будет делиться на $6$ .

Метод математической индукции доказывает, что заданное выражение вида $7^{n} - 12 n + 11$ будет делиться на $6$ , когда $n$ примет значение любого натурального числа.