Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Признак делимости на 8, примеры, доказательство
- 27 декабря 2023
- 10 минут
- 6 465
В статье рассматривается признак делимости на 8 с приведением его формулировки и примерами.
Признак делимости на 8, примеры
Формулировка звучит так: если число, составленное из последних цифр в записи целого а, делится на 8 тогда и все число делится на 8; когда число, составленное из трех последних, не делится на 8, тогда и все число не делится на число 8.
Приведенная формулировка говорит о том, что этот признак применим только для четырехзначных, пятизначных и так далее чисел. Данный метод безопасный и удобный, так как после всего можно выполнить проверку. Установка деления на 8 производится при помощи деления выражения на 8.
Проверить, делится ли 58 296 на 8.
Решение
Для решения задания нужно применить признак делимости на 8. Для этого нужно взять последние 3 цифры числа и разделить столбиком на 8. Получаем, что 296 нужно делить на 8. Имеем, что
Очевидно, что 296 поделится на 8 без остатка. Тогда заданное число полностью поделится на 8.
Ответ: да.
Когда последние три цифры имеют вид 024, 086, 002, 008, тогда необходимо отбросить нули и выполнять деление двузначных чисел.
При помощи признака делимости на 8 узнать, делится ли 920 072 на 8.
Решение
Видно, что последние три цифры записываются как 072, значит, будем иметь дело с числом 72, разделим его на 8. По признаку делимости видно, что заданное число делится на 8 без остатка.
Определить числа, которые поделятся на 8 из заданных −900 007, 21 008, −111 008 и 732 237 001 .
Решение
Воспользовавшись признаком делимости на 8, нужно пересмотреть все цифры, находящиеся справа числа, то есть 007, 008, 008, 001. Отсюда видно, что будем работать с числами 7, 8, 8, 1. Очевидно, что только 8 поделится само на себя, значит, из выбранных только 21008 и -111008 поделятся на 8.
Ответ: −900 007 и 732 237 001 на 8 не делятся, а 21 008 и −111 008 делятся на 8.
Когда записанное число имеет справа последние три цифры нули, то есть 23000, -980000, тогда очевидно, что все число делится на 8. Рассмотрим доказательство данного утверждения.
Число 1000 можно представить как 1 000=8·125. Видно, что оно точно поделится на 8.
Когда имеются числа, где в конце записаны 3 нуля, то очевидно, что нужно использовать правило умножения натуральных чисел на 1000, которое поможет представить а в виде a=a1·1 000. Отсюда видно, что a1получим из числа а, когда заберем последние три цифры, расположенные справа. Очевидно, что 1000 делится на 8, тогда и выражение a1·1 000 будет делиться на 8 по свойствам делимости. Отсюда получили, что число а будет делиться на 8 без остатка.
Теперь делимость числа на 8 доказана, когда число оканчивается на три нуля. Благодаря свойству делимости, это утверждение верно для всех натуральных а.
Доказательство признака делимости на 8
Для доказательства делимости на 8 необходимо использовать представление натурального числа а, то есть любое число представить в виде a=a1·1 000+a0, где a1 – это результат отбрасывания последних трех цифр, а a0– это есть последние цифры числа а. Для полного понятия запишем, что 234 698=234·1 000+698.
Для доказательства нужно применять свойства делимости:
- для деления нацело числа а на b необходимо и достаточно, чтобы модель числа а делился на модуль числа b;
- когда из равенства a=s+t все члены могут делиться на b, тогда и заданный член делится на b.
Переходим к доказательству признака делимости на 8 с достаточными и необходимыми условиями.
Чтобы целое число поделилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы число, состоящее из последних трех цифр записи числа а, делилось на 8.
Пусть целое число обозначим за а. Тогда модуль числа а является натуральным числом. Необходимо представить его в виде open.
Перейдем к доказательству необходимости. Пусть число делится на . Тогда нужно составить такое число, которое будет составлено из тех последних цифр заданного числа , делящееся на Отсюда получим, что делится на .
Если делится на , тогда и его модуль тоже, исходя из первого свойств делимости. Исходя из равенства вида получим, что поделится на , по второму свойству делимости видно, что поделится на без остатка. Необходимость доказана.
Доказательство достаточности начинается с того, что необходимо взять за a0 число, которое делится на . Это приведет к тому, что и число будет делиться на .
Видно, что из равенства произведение вида поделится на , что означает, также будет делиться на . Делаем вывод, что и само число будет делиться на . Достаточность доказана.
Другие случаи делимости на 8
Не всегда возможно установить делимость на сразу, так как либо число, либо выражение не представлено в явном виде. Поэтому следует предварительно выполнить несколько преобразований.
Когда имеется буквенное выражение , следует выяснить, будет ли выражение делиться на , возникают трудности. В этом случае, исходя из свойства, все выражение должно делиться на . Рассмотрим на примере.
Чаще всего, если имеется произведение, лучше применять формулу бинома Ньютона.
Выяснить, делится ли выражение вида на при являющимся натуральным числом.
Решение
Нужно представить как и применить формулу бинома Ньютона. Тогда получаем выражение:
Получили результат, который делится на , потому как имеется множитель в виде числа , причем значение в скобках равняется натуральному числу . Отсюда получаем, что данное по условию выражение будет делиться на при любому натуральном значении .
Ответ: да.
Заданное выражение можно разложить на множители или оно уже задается в таком виде. Следует учитывать то, что значение выражения с при , где является целым числом, будет делиться на , тогда и само заданное выражение поделится на при любом целом значении .
Доказать, что выражение вида будет делиться на при любом целом значении .
Решение
Перейдем к разложению на множители выражения
Если , тогда получим, что:
Выражение будет делиться на m без остатка при любом целом значении числа m, потому как имеется множитель вида , который тоже делится на .
Когда , получим, что
Значение такого произведения делится на , когда m принимает значение любого целого числа, потому как в записи имеется множитель .
Таким же образом выполняется при , тогда получаем, что произведения также поделятся на .
Мы доказали, что выражение, заданное по условию, будет делиться на без остатка при любом целом .
Имеются случаи, когда необходимо применять метод математической индукции.
Доказать при помощи математической индукции, что при , равному любому натуральному числу, выражение вида будет делиться на .
Решение
Необходимо провести проверку при значении , чтобы исходное выражение делилось на Тогда получим, что . Очевидно, что результат, равный , делится на без остатка.
Если предположить, что значение , тогда выражение вида делится на и приобретает вид , который также делится на число .
По заданному предположению необходимо доказать, что поделится на , а исходное выражение поделится на при значении .
Тогда получим, что:
Видно, что полученная разность выражений вида будет делиться на , потому как поделится на , а произведение , исходя из выше написанного, также поделится на , потому как имеет множитель в виде числа . Отсюда следует, что полученная разность поделится на . Видно, что искомая делимость на найдена из выражения вида .
Данный пример был решен при помощи метода математической индукции, была доказана делимость выражения на без остатка, где является любым целым натуральным числом.
Сохранить статью удобным способом