Признак делимости на 9, примеры, доказательство

13 октября 2023
9 минут
6 244

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В данной статье будет дана формулировка признака делимости на $9$ с его доказательством. Заключительным этапом будет приведение примера делимости на $9$ с разным значением переменной.

Признак делимости на 9, примеры

Рассмотрим сам признак делимости на $9$ : когда сумма цифр целого числа делится на $9$ , тогда само число также делится на $9$ ; когда сумма цифр не делится на $9$ , тогда очевидно, что и число не будет делиться на $9$ .

Для того, чтобы использовать данный признак делимости, необходимо разбираться в сложении натуральных чисел. Известно, что из простых натуральных чисел существует только число $9$ , которое способно поделиться на $9$ без остатка, то есть подходит под выше написанное определение.

Пример 1

Определить, какие из приведенных чисел $621, - 32 112, 222, - 331$ поделятся на $9$ без остатка.

Решение

Для решения задания необходимо перейти к вычислению сумм каждого из предложенных чисел. Получаем, что $6 + 2 + 1 = 9$ , $3 + 2 + 1 + 1 + 2 = 9$ , $2 + 2 + 2 = 8 и 3 + 3 + 1 = 7$ . Видно, что только $9$ поделится на $9$ , а $8$ и $7$ нет. Отсюда имеем, что $621$ и $- 32112$ поделятся на $9$ а $222$ и $- 331$ не поделятся.

Ответ: $621$ и $- 32 112$ .

Бывают случаи, когда сумма цифр является трехзначным числом. Когда имеем число $945$ , то сумма его цифр – это $18$ , а сумма цифр $999888777666555$ равняется $105$ . Тогда для установления делимости на $9$ нужно применять правило несколько раз.

Пример 2

Определить, делится ли число $876 505 998 872$ на $9$ .

Решение

Необходимо воспользоваться признаком делимости на $9$ . Переходим к вычислению суммы цифр заданного числа. Тогда получим, что $8 + 7 + 6 + 5 + 0 + 5 + 9 + 9 + 8 + 8 + 7 + 2 = 74$ . Чтобы определить, будет ли делиться $74$ на $9$ ,нужно найти сумму цифр. Тогда получаем, что $7 + 4 = 11$ , а $1 + 1 = 2$ . Отсюда следует, что $2$ не поделится на $9$ . То есть число $74$ на $9$ не делится.

Ответ: не делится.

Чтобы проверить, будет делиться число на $9$ или нет, нужно произвести деление на $9$ . Применение признака делимости на $9$ и непосредственное деление на $9$ занимает практически одно и то же время.

Доказательство признака делимости на 9

Чтобы доказать признак делимости на $9$ , нужно использовать дополнительные результаты.

Когда разложим по рядам любое натуральное число $а$ , правила умножения натурального числа на $10, 100, 1000$ позволяет представить все при помощи записи $a = a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n - 1} \cdot 10^{n} - 1 + \dots + a_{2} \cdot 10^{2} + a_{1} \cdot 10 + a_{0}$ , где $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{0}$ являются цифрами, записанных слева направо. Имеем, что $10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1 = 11 \cdot 9 + 1, 1 000 = 999 + 1 = 111 \cdot 9 + 1, \dots$ , тогда число $а$ можно представить в виде $a = a_{n} \cdot (11 . . . 1 \cdot 9 + 1) + . . . + a_{2} \cdot (11 \cdot 9 + 1) + a_{1} \cdot (1 \cdot 9 + 1) + a_{0}$ .

Нужно преобразовать выражения до вида $a = 9 \cdot (11 . . . 1 \cdot a_{n} + . . . + 11 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{1}) + (a_{n} + . . . + a_{2} + a_{1} + a_{0})$ .

Отсюда получаем, что сумма $a_{n} + . . . + a_{2} + a_{1} + a_{0}$ является суммой всех цифр, входящих в состав числа $а$ . Чтобы запись была краткой, запишем $a = 9 \cdot (11 . . . 1 \cdot a_{n} + . . . + 11 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{1}) + A$ . Данное преобразование числа $а$ применяется при доказательстве признака делимости на $9$ .

Используем $2$ свойства делимости:

для возможности деления $а$ на $b$ нужно производить деление модуля $а$ на модуль $b$ ;
при возможности деления на число $b$ всего выражения $a = s + t$ очевидно, что и все выражение поделится на $b$ .

Рассмотрим само доказательство признака делимости на $9$ вместе с необходимыми и достаточными условиями.

Теорема 1

Для того, чтобы целое число $а$ делилось на $9$ без остатка, необходимо и достаточно, что и сумма цифр числа $а$ делилась на $9$ .

Доказательство 1

При $а = 0$ теорема очевидна. Если а отлично от нуля, а его модуль – это натуральное число, тогда представим его в виде суммы вида $|a| = 9 \cdot (11 . . . 1 \cdot a_{n} + . . . + 11 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{1}) + A$ , что и было представлено задолго до написания теоремы. Выражение $9 \cdot (11 . . . 1 \cdot a_{n} + . . . + 11 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{1})$ имеет множитель $9$ , а сумма скобок – это натуральное число при любых $a_{n}, a_{n - 1}, \dots, a_{1}$ . Видно, что свойство делимости подходит для выражения. Необходимо доказать, что сумма всех цифр ( $A$ ) делится на $9$ , тогда и само число разделится на $9$ .

Если $A$ делится на $9$ , тогда по равенству $|a| = 9 \cdot (11 . . . 1 \cdot a_{n} + . . . + 11 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{1}) + A$ и по второму указанному перед теоремой свойству имеем, что и модуль $а$ будет делиться на $9$ . Получим, что и само число $а$ будет делиться на $9$ . Достаточное свойство доказано.

Доказательство необходимого свойства включает в себя деление на $9$ числа а при делении суммы всех цифр числа $а$ .

Когда $а$ будет делиться на $9$ , тогда и модуль числа разделится на $9$ . Это возможно благодаря первому свойству делимости. Из $|a| = 9 \cdot (11 . . . 1 \cdot a_{n} + . . . + 11 \cdot a_{2} + 1 \cdot a_{1}) + A$ и второго свойства видно, что $A$ поделится на $9$ без остатка. Необходимое свойство доказано.

Другие случаи делимости на 9

Рассмотрим примеры решения примеров с доказательством делимости на $9$ , когда имеется буквенное выражение.

Имеются случаи, когда делимость на $9$ нельзя определить при помощи деления на $9$ . Тогда выражение представляется в виде произведения нескольких множителей, где один из них делится на $9$ . Рассмотрим два таких способа. Решим примеры с помощью бинома Ньютона.

Пример 4

Определить, делится ли выражение $4^{n} + 6 n - 1$ на $9$ при любом значении $n$ .

Решение

Представляем $4$ в виде $3 + 1$ , используем формулу бинома Ньютона и получим:

$4^{n} + 6 n - 1 = {(3 + 1)}^{n} + 6 n - 1 = = (C_{n}^{0} \cdot 3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} \cdot 1 + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} \cdot 1^{n - 1} + C_{n}^{n - 1} \cdot 3 \cdot^{n - 1} + C_{n}^{n} \cdot 1^{n}) + + 6 n - 1 = = (3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} + n \cdot 3 + 1) + 6 n - 1 = = 3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} + 9 n$

Когда $n = 1$ , получаем, что $4^{n} + 6 n - 1 = 4^{1} + 6 \cdot 1 - 1 = 9$ . Очевидно, что $9$ делится на $9$ . Когда значение $n$ больше $1$ , тогда видно, что сумма $3^{n} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 1} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{2} + 9 n$ может быть упрощена при помощи выноса $9$ за скобки. Получим выражение вида $9 \cdot (3^{n - 2} + C_{n}^{1} \cdot 3^{n - 3} + . . . + C_{n}^{n - 2} \cdot 3^{0} + n)$ . Очевидно, что произведение поделится на $9$ , а значение выражения в скобке удовлетворяет условию $n > 1$ и является натуральным числом. Отсюда имеем, что $4^{n} + 6 n - 1$ делится на $9$ при любых натуральных значениях $n$ .

Ответ: делится.

Если исходное выражение c $n$ переменной в виде многочлена, тогда используется такой способ. При доказательстве $n = 9 \cdot m, n = 9 \cdot m + 1, \dots, n = 9 \cdot m + 8$ , где $m$ является целым числом, а исходное выражение делится на $9$ , тогда очевидно, что делимость будет доказана при любом значении $n$ .

Пример 5

Доказать, что $n^{6} - 8 n^{4} + 16 n^{2}$ будет делиться на $9$ при любом значении $n$ .

Решение

Чтобы удобней было вычислять, нужно выражение $n^{6} - 8 n^{4} + 16 n^{2}$ разложить на множители. тогда получим, что

$n^{6} - 8 n^{4} + 16 n^{2} = n^{2} \cdot (n^{4} - 8 n^{2} + 16) = n^{2} \cdot (n^{2} - 4)^{2} = = n^{2} \cdot (n - 2)^{2} \cdot (n + 2)^{2}$

Пусть $m$ будет целым числом. Отсюда имеем, что $n = 9 \cdot m$ даст выражение вида $n^{2} \cdot (n - 2)^{2} \cdot (n + 2)^{2} = (9 m)^{2} \cdot (9 m - 2)^{2} \cdot (9 m + 2)^{2}$ . Так как имеется множитель $9$ , то очевидно, что выражение поделится на $9$ .

Если выражение вида $n = 9 \cdot m + 1$ , то получим, что

$n^{2} \cdot (n - 2)^{2} \cdot (n + 2)^{2} = (9 m + 1)^{2} \cdot (9 m - 1)^{2} \cdot (9 m + 3)^{2} = = {(9 m + 1)}^{2} \cdot {(9 m - 1)}^{2} \cdot 9 \cdot {(3 m + 1)}^{2}$

Данное произведение поделится на $9$ , так как есть множитель $9$ . Таким же образом проверяется выражение вида $n^{2} \cdot (n - 2)^{2} \cdot (n + 2)^{2}$ при $n = 9 \cdot m + 2, n = 9 \cdot m + 3, \dots, n = 9 \cdot m + 8$

Отсюда видно, что делимость на $9$ доказана, значит, выражение делится на $9$ при любом значении $n$ .

Рассмотрим пример при помощи метода математической индукции.

Пример 6

Доказать, что выражение $4^{n} + 6 n - 1$ делится на $9$ при любом значении $n$ .

Решение

Чтобы доказать делимость на $9$ , необходимо использовать формулу математической индукции.

Когда $n = 1$ , то выражение $4^{n} + 6 n - 1$ равняется $9$ , значит и делится на $9$ . Если предположить, что $n = k$ , тогда выражение запишется так $4^{k} + 6 k - 1$ . Оно тоже делится на $9$ .

По предыдущему шагу понятно, что $4^{n} + 6 n - 1$ будет делиться на число $9$ при n=k+1.

Получаем, что

$4^{k - 1} + 6 \cdot (k + 1) - 1 = = 4 \cdot 4^{k} + 6 k + 5 = = 4 \cdot (4^{k} + 6 k - 1) - 18 k + 9 = = 4 \cdot (4^{k} + 6 k - 1) - 9 \cdot (2 k - 1)$

Тогда из разности вида $4 \cdot (4^{k} + 6 k - 1)$ видно, что она делится на $9$ . Предыдущий шаг показал, что $4^{k} + 6 k - 1$ делится на $9$ также, как и $9 \cdot (2 k - 1)$ . Отсюда получаем, что вся разность поделится на $9$ . Можно говорить о том, что выражение $4^{n} + 6 n - 1$ при $n = k + 1$ будет делиться на $9$ .

Данное задание было решено при помощи метода математической индукции. Получили в результате, что заданное выражение поделится на $9$ при любом целом значении $n$ .