Признаки делимости

11 апреля 2023
5 минут
420

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы поговорим о таком понятии, как признаки делимости. Это определенные действия, с помощью которых можно узнать, делится ли целое число a на другое число $b$ , которое в данном случае будет целым положительным. При это само деление не проводится. Очевидно, что для изучения данных признаков необходимо иметь общее представление о делимости чисел.

Когда мы говорим о признаках делимости, чаще всего нам приходится иметь дело не с самим числом, а с цифрами, из которых оно состоит.

С помощью определенных признаков делимости можно заключить, что некое число a можно разделить на другое число. Для одних нам будет нужна последняя цифра в записи: так можно сделать вывод о делимости на $2, 5$ и $10$ . Сформулируем эти признаки.

Определение 1

Те числа, в конце которых стоят цифры $0, 2, 4, 6$ $,$ делятся на $2$ .

Определение 2

На $5$ можно разделить те числа, которые заканчиваются на $5$ и $0$ .

Определение 3

Все числа, заканчивающиеся на $0$ , можно разделить на $10$ .

Приведем примеры.

Пример 1

Например, число $34 564$ обладает делимостью на $2$ , поскольку в конце у него стоит $4$ . Число $567$ разделить на $5$ нельзя, потому что последняя цифра в нем не удовлетворяет нужным условиям. Число $89 120$ мы можем разделить на $10$ , потому что оно заканчивается нулем.

Другие признаки делимости требуют предварительного анализа не одной, а нескольких последний цифр числа.

Признак делимости на $4$ выглядит так:

Определение 4

Число можно разделить на $4$ , если двузначное число, образованное двумя последними цифрами в нем, делится на $4$ .

Определение 5

О признаке делимости на $8$ мы говорим, когда число из трех последних цифр можно разделить на $8$ .

Пример 2

Вот примеры таких расчетов: $99 769 775 012$ делится на $4$ , так как в конце у него стоит $12$ , а $45 907$ нельзя разделить на $8$ : берем три последние цифры, убираем из них $0$ и получаем $97$ . Без остатка на $8$ это число разделить нельзя, значит, и $45 907$ делимостью на $8$ не обладает.

Остальные признаки делимости требуют анализа сразу всех цифр в числе.

Определение 6

Число можно разделить на $3$ или $9$ , если сумма всех цифр в нем делится на $3$ или $9$ соответственно.

После вычисления суммы цифр, возможно, придется использовать указанные признаки делимости еще раз. Вот примеры таких вычислений.

Пример 3

Проверим, делится ли $1 001 103$ . Подсчитаем сумму цифр: $1 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 3 = 6$ . Шестерка делится на $3$ , значит, и все число тоже можно разделить на $3$ .

Пример 4

Число $65 051 991$ можно разделить на $9$ , потому что суммой его цифр является $36 : 6 + 5 + 0 + 5 + 1 + 9 + 9 + 1 = 36$ , а его можно разделить на $9$ .

А вот пример последовательного применения признаков.

Пример 5

Проверим, можно ли разделить $879 901 831 799 782$ на $3$ . Считаем сумму цифр и получаем $114$ . Для проверки делимости этого числа на $3$ складываем цифры уже этого числа и получаем $6$ . Шесть можно разделить на $3$ , значит, $114$ делится на $3$ и $879 901 831 799 782 998$ тоже делится на $3$ .

В целом можно сказать, что с помощью признаков делимости можно перейти от анализа исходного числа к анализу меньшего числа, причем второе число мы проверяем, используя тот же самый признак делимости. Иначе говоря, в случае с длинными числами признаки нужно применять циклически для получения нужного результата.

Есть и другие признаки делимости, которые объединяют в себе несколько других.

Определение 7

Чтобы узнать, делится ли число на $6$ , нужно объединить два признака делимости – на $2$ и на $3$ .

Определение 8

Признаком делимости на $12$ является соответствие двум другим признакам делимости – на $3$ и $4$ .

Пример 6

К примеру, $78 804$ заканчивается на $4$ , следовательно, его можно разделить на $2$ . Считаем сумму цифр и получаем $27$ . Это число можно разделить на $3$ , получается, что это можно сделать и с исходным числом. В итоге заключаем, что $78 804$ делится без остатка на $6$ .

Пример 7

Число $208 436 316$ можно разделить на $12$ , поскольку его цифры в сумме дают $33$ , что делится на $3$ , и две последние цифры образуют число $16$ , которое можно разделить на $4$ .

Отметим, что иногда для проверки делимости требуется значительная вычислительная работа, что в некоторых случаях нецелесообразно. Иногда проще выполнить непосредственное деление, чтобы ответить на вопрос, делится ли это число на другое или нет.