Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Задано дифференциальное уравнение $4y^{\left(4\right)}-8y^{\left(3\right)}+3y\text{'}\text{'}=0$. Необходимо найти его общее решение.

Решение

Произведя замену $y\text{'}\text{'}=p\left(x\right)$, получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, $y^{\left(3\right)}=p\text{'}, y^{\left(4\right)}=p\text{'}\text{'}$, и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты $4p^{\text{'}\text{'}}-8p^{\text{'}}+3p=0$.

Характеристическое уравнение будет записано так: $4k^2-8k+3=0$, а корни его -  $k_1=\frac{1}{2}$ и $k_2=\frac{3}{2}$, тогда общим решением дифференциального уравнения $4p^{\text{'}\text{'}}-8p^{\text{'}}+3p=0$ будет $p\left(x\right)=C_1·e^{\frac{1}{2}x}+C_2·e^{\frac{3}{2}x}$.

Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:

$$\begin{gathered} y^{\text{'}\text{'}}=p\left(x\right)\Rightarrow \\ {y}^{\text{'}}=\int p\left(x\right)dx=\int \left(C_1·e^{\frac{1}{2}x}+C_2·e^{\frac{3}{2}x}\right)dx= \\ =2C_1·e^{\frac{1}{2}x}+\frac{2}{3}{C}_2·e^{\frac{3}{2}x}+C_3\Rightarrow \\ y=\int y^{\text{'}}dx=\int \left(2C_1·e^{\frac{1}{2}x}+\frac{2}{3}{C}_2·e^{\frac{3}{2}x}+C_3\right)dx= \\ =4C_1·e^{\frac{1}{2}x}+\frac{4}{9}{C}_2·e^{\frac{3}{2}x}+C_3·x+C_4 \end{gathered}$$

Ответ: $y=4C_1·e^{\frac{1}{2}x}+\frac{4}{9}{C}_2·e^{\frac{3}{2}x}+C_3·x+C_4$ (${С}_1, {С}_2, {С}_3$ и ${С}_4$ являются произвольными постоянными).

Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка $y\text{'}\text{'}\text{'}·x·\ln \left(x\right)=y\text{'}\text{'}$. Необходимо найти его общее решение.

Решение

Осуществим замену $y\text{'}\text{'}=p\left(x\right)$, следовательно, $y\text{'}\text{'}\text{'}=p\text{'}$ , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи $p\text{'}·x·\ln \left(x\right)=p$.

Осуществим разделение переменных и интегрирование:

$$\begin{gathered} \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x\ln \left(x\right)}, p\ne 0 \\ \int \frac{dp}{p}=\int \frac{dx}{x\ln \left(x\right)} \\ \int \frac{{\displaystyle dp}}{{\displaystyle p}}=\int \frac{d\left(\ln \right(x\left)\right)}{\ln {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle )}} \\ \ln \left|p\right|+C_1=\ln \left|\ln \left(x\right)\right|+C_2 \end{gathered}$$

Последующее потенцирование с учетом того, что $p\left(x\right)=0$ тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения $p\text{'}·x·\ln \left(x\right)=p$ в записи $p\left(x\right)=C·\ln \left(x\right)$, в которой $C$ будет произвольной постоянной.

Поскольку в самом начале была использована замена $y\text{'}\text{'}=p\left(x\right)$, то $y\text{'}=\int p\left(x\right)dx$ тогда: $y\text{'}=C·\int \ln \left(x\right)dx$. Задействуем метод интегрирования по частям:

$$\begin{gathered} y\text{'}=C·\int \ln \left(x\right)dx=\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(x\right), dv=dx\\ du=\frac{dx}{x}, v=x\end{array}\left.\begin{array}{r} \\ \\ \end{array}\right\}\right.= \\ =C·\left(x·\ln \left(x\right)-\int \frac{xdx}{x}\right)=C·(x·\ln (x)-x)+C_3 \end{gathered}$$

Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
$$\begin{gathered} y=\int y\text{'}dx=\int \left(C·\left(x·\ln \left(x\right)-x\right)+C_3\right)dx= \\ =C·\int x·\ln \left(x\right)dx-C·\int xdx+C_3·\int dx= \\ =C·\int x·\ln \left(x\right)dx-C·\frac{x^2}{2}+C_3·x= \\ =\left\{\begin{array}{l}u=\ln x, dv=xdx\\ du=\frac{dx}{x}, v=\frac{x^2}{2}\end{array}\left.\begin{array}{r} \\ \\ \end{array}\right\}\right.= \\ =C·\left(\frac{x^2}{2}·\ln x-\int \frac{xdx}{2}\right)-C·\frac{x^2}{2}+C_3·x+C_4= \\ =C·\left(\frac{x^2\ln \left(x\right)}{2}-\frac{3x^2}{4}\right)+C_3·x+C_4 \end{gathered}$$

Ответ: $y=C·\left(\frac{x^2\ln \left(x\right)}{2}-\frac{3x^2}{4}\right)+C_3·x+C_4$ ($С, {С}_3$ и ${С}_4$ являются произвольными постоянными).

Задано дифференциальное уравнение $4y^{3}y\text{'}\text{'}=y^4-1$ и начальные условия: $y\left(0\right)=\sqrt{2}, y\text{'}\left(0\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$. Необходимо найти частное решение заданного уравнения.

Решение

Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную $x$, следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену $\frac{dy}{dx}=p\left(y\right)$.

Тогда $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dp}{dy}·p\left(y\right)$. Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $4y^3·\frac{dp}{dy}·p\left(y\right)=y^4-1$.

Осуществим интегрирование:

$$\begin{gathered} 4y^3·\frac{dp}{dy}·p\left(y\right)=y^4-1\iff \\ p\left(y\right)dp=\left(\frac{y}{4}-\frac{1}{4y^3}\right)dy, y\ne 0 \\ \int p\left(y\right)dp=\int \left(\frac{y}{4}-\frac{1}{4y^3}\right)dy \\ \frac{p^2\left(y\right)}{2}+C_1=\frac{y^2}{8}+\frac{1}{8y^2}+C_2 \\ {p}^2\left(y\right)=\frac{1}{4}\frac{y^4+8C{y}^2+1}{y^2}, C=C_2-C_1 \\ P\left(y\right)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4+8C{y}^2+1}{y^2}} \end{gathered}$$

Поскольку $\frac{dy}{dx}=p\left(y\right)$, тогда $y\text{'}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4+8C{y}^2+1}{y^2}}$.

Этап решения позволяет найти константу $C$, задействовав начальные условия $y\left(0\right)=\sqrt{2}, y\text{'}\left(0\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$:

$$\begin{gathered} y\text{'}\left(0\right)=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4\left(0\right)+8C{y}^2\left(0\right)+1}{y^2\left(0\right)}} \\ \frac{1}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^4+8C{\left(\sqrt{2}\right)}^2+1}{2}} \\ \frac{1}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+16C}{2}} \\ 1=\pm \sqrt{5+16C} \end{gathered}$$

Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:

$C=-\frac{1}{4}$,а $y\text{'}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4+8C{y}^2+1}{y^2}}$ не удовлетворяет условиям задачи.

Тогда

$$\begin{gathered} y\text{'}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4+8C{y}^2+1}{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4+8·\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)y^2+1}{y^2}}= \\ =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y^4+2y^2+1}{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(y^2-1^2)}{y^2}}=\frac{1}{2}\left|\frac{y^2-1}{y}\right| \end{gathered}$$

При $\frac{y^2-1}{y}\ge 0\iff y\in \left[-1; 0\right]\cup [1; +\infty )$ получаем $y\text{'}=\frac{1}{2}·\frac{y^2-1}{y}$, откуда

$$\begin{gathered} \frac{2ydy}{y^2-1}=dx \\ \int \frac{2ydy}{y^2-1}=\int dx \\ \int \frac{d(y^2-1)}{y^2-1}=\int dx \\ \ln (y^2-1)+C_3=x+C_4 \\ {y}^2-1=e^{x+C_3}=x+C_4 \\ {y}^2-1{=}^{x+C_1}, C_5+C_4-C_2 \\ y=\pm \sqrt{e^{x+C_5}+1} \end{gathered}$$

Область значений функции $y=-\sqrt{e^{x+C_5}+1}$ - это $(-\infty ,-1]$, и такой интервал не будет удовлетворять условию $\frac{y^2-1}{y}\ge 0\iff y\in \left[-1; 0\right]\cup [1; +\infty )$, а значит $y=-\sqrt{e^{x+C_5}+1}$ не рассматриваем.

Обратимся к начальному условию $y\left(0\right)=\sqrt{2}$:

$$\begin{gathered} y\left(0\right)=\sqrt{e^{0+C_5}+1} \\ \sqrt{2}=\sqrt{e^{0+C_5}+1} \\ 2=e^{C_5}+1 \\ {С}_5=0 \end{gathered}$$

Таким образом, $y=\sqrt{e^{x+C_5}+1}=\sqrt{e^{x+0}+1}=\sqrt{e^x+1}$ - необходимое нам частное решение.

При $\frac{{у}^2-1}{y}<0\iff y\in \left(-\infty ; -1\right)\cup \left(0; 1\right)$ получим $y\text{'}=-\frac{1}{2}·\frac{y^2-1}{y}$, откуда $y=\pm \sqrt{e^{x+C_5}+1}$. Область значений функции $y=\sqrt{e^{-x+C_5}+1}$ - интервал $[1,+\infty )$, и такой интервал не будет удовлетворять условию $\frac{y^2-1}{y}<0\iff y\in \left(-\infty ; -1\right)\cup \left(0; 1\right)$, тогда $y=\sqrt{e^{-x+C_5}+1}$ не рассматриваем.

Для функции $y=\sqrt{e^{-x+C_5}+1}$ начальное условие $y\left(0\right)=\sqrt{2}$ не будет удовлетворяться ни для каких ${С}_6$, поскольку

$$\begin{gathered} y\left(0\right)=-\sqrt{e^{0+C_6}+1} \\ \sqrt{2}=-\sqrt{e^{C_6}+1} \end{gathered}$$

Ответ: $y=\sqrt{e^x+1}$.