Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Содержание:

18 августа 2023
7 минут
1880

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Материал данной статьи дает представление о дифференциальных уравнениях порядка выше второго с возможностью понизить порядок, используя замену. Подобные уравнения часто представлены $F (x, y^{(k)}, y^{(k + 1)}, . . ., y^{(n)}) = 0$ , не содержащими искомой функции и производных до $k - 1$ порядка, а также дифференциальными уравнениями записи $F (y, y^{'}, y^{''}, . . ., y^{(n)}) = 0$ , не содержащими независимой переменной.

Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих искомой функции и производных до
$k - 1$ порядка вида $F (x, y^{(k)}, y^{(k + 1)}, . . ., y^{(n)}) = 0$

Мы имеем возможность понижения порядка дифференциального уравнения $F (x, y^{(k)}, y^{(k + 1)}, . . ., y^{(n)}) = 0$ до $n - k$ , используя замену переменных $y^{(k)} = p (x)$ . Осуществив подобную замену, имеем: $y^{(k + 1)} = p' (x), y^{(k + 2)} = p'' (x), . . ., y^{(n)} = p^{(n - k)} (x)$ . Затем подставим полученный результат в исходное уравнение и увидим дифференциальное уравнение порядка $n - k$ с неизвестной функцией $p (x)$ .

После нахождения $p (x)$ функцию $y (x)$ найдем из равенства $y^{(k)} = p (x)$ интегрированием $k$ раз подряд.

Для наглядности разберём решение такой задачи.

Пример 1

Задано дифференциальное уравнение $4 y^{(4)} - 8 y^{(3)} + 3 y'' = 0$ . Необходимо найти его общее решение.

Решение

Произведя замену $y'' = p (x)$ , получим возможность понизить порядок дифференциального уравнения с четвертого до второго. Итак, $y^{(3)} = p', y^{(4)} = p''$ , и, таким образом, исходное уравнение четвертого порядка мы преобразуем в линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее постоянные коэффициенты $4 p^{''} - 8 p^{'} + 3 p = 0$ .

Характеристическое уравнение будет записано так: $4 k^{2} - 8 k + 3 = 0$ , а корни его - $k_{1} = \frac{1}{2}$ и $k_{2} = \frac{3}{2}$ , тогда общим решением дифференциального уравнения $4 p^{''} - 8 p^{'} + 3 p = 0$ будет $p (x) = C_{1} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + C_{2} \cdot e^{\frac{3}{2} x}$ .

Проинтегрируем два раза полученный результат и можем записать необходимое нам общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка:

$y^{''} = p (x) \Rightarrow y^{'} = \int p (x) d x = \int (C_{1} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + C_{2} \cdot e^{\frac{3}{2} x}) d x = = 2 C_{1} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + \frac{2}{3} C_{2} \cdot e^{\frac{3}{2} x} + C_{3} \Rightarrow y = \int y^{'} d x = \int (2 C_{1} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + \frac{2}{3} C_{2} \cdot e^{\frac{3}{2} x} + C_{3}) d x = = 4 C_{1} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + \frac{4}{9} C_{2} \cdot e^{\frac{3}{2} x} + C_{3} \cdot x + C_{4}$

Ответ: $y = 4 C_{1} \cdot e^{\frac{1}{2} x} + \frac{4}{9} C_{2} \cdot e^{\frac{3}{2} x} + C_{3} \cdot x + C_{4}$ ( $С_{1}, С_{2}, С_{3}$ и $С_{4}$ являются произвольными постоянными).

Пример 2

Задано общее дифференциальное уравнение третьего порядка $y''' \cdot x \cdot \ln (x) = y''$ . Необходимо найти его общее решение.

Решение

Осуществим замену $y'' = p (x)$ , следовательно, $y''' = p'$ , а заданное дифференциальное уравнение третьего порядка преобразуется в дифференциальное уравнение, имеющее разделяющиеся переменные записи $p' \cdot x \cdot \ln (x) = p$ .

Осуществим разделение переменных и интегрирование:

$\frac{d p}{p} = \frac{d x}{x \ln (x)}, p \neq 0 \int \frac{d p}{p} = \int \frac{d x}{x \ln (x)} \int \frac{d p}{p} = \int \frac{d (\ln (x))}{\ln (x)} \ln |p| + C_{1} = \ln |\ln (x)| + C_{2}$

Последующее потенцирование с учетом того, что $p (x) = 0$ тоже является решением, даст нам возможность получить общее решение дифференциального уравнения $p' \cdot x \cdot \ln (x) = p$ в записи $p (x) = C \cdot \ln (x)$ , в которой $C$ будет произвольной постоянной.

Поскольку в самом начале была использована замена $y'' = p (x)$ , то $y' = \int p (x) d x$ тогда: $y' = C \cdot \int \ln (x) d x$ . Задействуем метод интегрирования по частям:

$y' = C \cdot \int \ln (x) d x = \{\begin{array}{l} u = \ln (x), d v = d x \\ d u = \frac{d x}{x}, v = x \end{array} \begin{array}{r} \end{array}\} = = C \cdot (x \cdot \ln (x) - \int \frac{x d x}{x}) = C \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C_{3}$

Произведем интегрирование повторно для получения общего решения заданного дифференциального уравнения третьего порядка:
$y = \int y' d x = \int (C \cdot (x \cdot \ln (x) - x) + C_{3}) d x = = C \cdot \int x \cdot \ln (x) d x - C \cdot \int x d x + C_{3} \cdot \int d x = = C \cdot \int x \cdot \ln (x) d x - C \cdot \frac{x^{2}}{2} + C_{3} \cdot x = = \{\begin{array}{l} u = \ln x, d v = x d x \\ d u = \frac{d x}{x}, v = \frac{x^{2}}{2} \end{array} \begin{array}{r} \end{array}\} = = C \cdot (\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x - \int \frac{x d x}{2}) - C \cdot \frac{x^{2}}{2} + C_{3} \cdot x + C_{4} = = C \cdot (\frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}) + C_{3} \cdot x + C_{4}$

Ответ: $y = C \cdot (\frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}) + C_{3} \cdot x + C_{4}$ ( $С, С_{3}$ и $С_{4}$ являются произвольными постоянными).

Понижение порядка дифференциальных уравнений, не содержащих независимую переменную, записи $F (x, y^{(k)}, y^{(k + 1)}, . . ., y^{(n)}) = 0$

Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения $F (y, y^{'}, y^{''}, . . ., y^{(n)}) = 0$ , не имеющие в своей записи независимую переменную.

В данном случае снижение порядка на единицу возможно с использованием замены $\frac{d y}{d x} = p (y)$ . Опираясь на правило дифференцирования сложных функций, получим:

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d p}{d y} \frac{d y}{d x} = \frac{d p}{d y} p (y) \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = \frac{d (\frac{d p}{d y} p (y))}{d x} = \frac{d^{2} p}{d y^{2}} \frac{d y}{d x} p (y) + \frac{d p}{d y} \frac{d p}{d y} \frac{d y}{d x} = = \frac{d^{2} p}{d y^{2}} p^{2} (y) + {(\frac{d p}{d y})}^{2} p (y) . . .$

Подставив результат в заданное уравнение, получаем дифференциальное уравнение с порядком ниже на единицу.

Рассмотрим данный алгоритм в решении конкретной задачи.

Пример 3

Задано дифференциальное уравнение $4 y^{3} y'' = y^{4} - 1$ и начальные условия: $y (0) = \sqrt{2}, y' (0) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ . Необходимо найти частное решение заданного уравнения.

Решение

Заданное уравнение не имеет в своем составе независимую переменную $x$ , следовательно, мы можем снизить порядок уравнения на единицу, используя замену $\frac{d y}{d x} = p (y)$ .

Тогда $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d p}{d y} \cdot p (y)$ . Произведем подстановку и получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $4 y^{3} \cdot \frac{d p}{d y} \cdot p (y) = y^{4} - 1$ .

Осуществим интегрирование:

$4 y^{3} \cdot \frac{d p}{d y} \cdot p (y) = y^{4} - 1 \Leftrightarrow p (y) d p = (\frac{y}{4} - \frac{1}{4 y^{3}}) d y, y \neq 0 \int p (y) d p = \int (\frac{y}{4} - \frac{1}{4 y^{3}}) d y \frac{p^{2} (y)}{2} + C_{1} = \frac{y^{2}}{8} + \frac{1}{8 y^{2}} + C_{2} p^{2} (y) = \frac{1}{4} \frac{y^{4} + 8 C y^{2} + 1}{y^{2}}, C = C_{2} - C_{1} P (y) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} + 8 C y^{2} + 1}{y^{2}}}$

Поскольку $\frac{d y}{d x} = p (y)$ , тогда $y' = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} + 8 C y^{2} + 1}{y^{2}}}$ .

Этап решения позволяет найти константу $C$ , задействовав начальные условия $y (0) = \sqrt{2}, y' (0) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ :

$y' (0) = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} (0) + 8 C y^{2} (0) + 1}{y^{2} (0)}} \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{{(\sqrt{2})}^{4} + 8 C {(\sqrt{2})}^{2} + 1}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5 + 16 C}{2}} 1 = \pm \sqrt{5 + 16 C}$

Крайнее равенство дает возможность сформулировать вывод:

$C = - \frac{1}{4}$ ,а $y' = - \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} + 8 C y^{2} + 1}{y^{2}}}$ не удовлетворяет условиям задачи.

Тогда

$y' = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} + 8 C y^{2} + 1}{y^{2}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} + 8 \cdot (- \frac{1}{4}) y^{2} + 1}{y^{2}}} = = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{y^{4} + 2 y^{2} + 1}{y^{2}}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(y^{2} - 1^{2})}{y^{2}}} = \frac{1}{2} |\frac{y^{2} - 1}{y}|$

При $\frac{y^{2} - 1}{y} \geq 0 \Leftrightarrow y \in [- 1; 0] \cup [1; + \infty)$ получаем $y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{y^{2} - 1}{y}$ , откуда

$\frac{2 y d y}{y^{2} - 1} = d x \int \frac{2 y d y}{y^{2} - 1} = \int d x \int \frac{d (y^{2} - 1)}{y^{2} - 1} = \int d x \ln (y^{2} - 1) + C_{3} = x + C_{4} y^{2} - 1 = e^{x + C_{3}} = x + C_{4} y^{2} - 1 =^{x + C_{1}}, C_{5} + C_{4} - C_{2} y = \pm \sqrt{e^{x + C_{5}} + 1}$

Область значений функции $y = - \sqrt{e^{x + C_{5}} + 1}$ - это $(- \infty, - 1]$ , и такой интервал не будет удовлетворять условию $\frac{y^{2} - 1}{y} \geq 0 \Leftrightarrow y \in [- 1; 0] \cup [1; + \infty)$ , а значит $y = - \sqrt{e^{x + C_{5}} + 1}$ не рассматриваем.

Обратимся к начальному условию $y (0) = \sqrt{2}$ :

$y (0) = \sqrt{e^{0 + C_{5}} + 1} \sqrt{2} = \sqrt{e^{0 + C_{5}} + 1} 2 = e^{C_{5}} + 1 С_{5} = 0$

Таким образом, $y = \sqrt{e^{x + C_{5}} + 1} = \sqrt{e^{x + 0} + 1} = \sqrt{e^{x} + 1}$ - необходимое нам частное решение.

При $\frac{у^{2} - 1}{y} < 0 \Leftrightarrow y \in (- \infty; - 1) \cup (0; 1)$ получим $y' = - \frac{1}{2} \cdot \frac{y^{2} - 1}{y}$ , откуда $y = \pm \sqrt{e^{x + C_{5}} + 1}$ . Область значений функции $y = \sqrt{e^{- x + C_{5}} + 1}$ - интервал $[1, + \infty)$ , и такой интервал не будет удовлетворять условию $\frac{y^{2} - 1}{y} < 0 \Leftrightarrow y \in (- \infty; - 1) \cup (0; 1)$ , тогда $y = \sqrt{e^{- x + C_{5}} + 1}$ не рассматриваем.