Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- 31 июля 2023
- 13 минут
- 18 128
- Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx
- Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y'=f(ax+by), a≠0, b ≠ 0
- Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y'=fxy или y'=fyx
- Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными y'=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R
В целом ряде обыкновенных ДУ 1-го порядка существуют такие, в которых переменные х и у можно разнести в правую и левую части записи уравнения. Переменные могут быть уже разделены, как это можно видеть в уравнении f(y)dy=g(x)dx. Разделить переменные в ОДУ f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx можно путем проведения преобразований. Чаще всего для получения уравнений с разделяющимися переменными применяется метод введения новых переменных.
В этой теме мы подробно разберем метод решения уравнений с разделенными переменными. Рассмотрим уравнения с разделяющимися переменными и ДУ, которые можно свести к уравнениям с разделяющимися переменными. В разделе мы разобрали большое количество задач по теме с подробным разбором решения.
Для того, чтобы облегчить себе усвоение темы, рекомендуем ознакомиться с информацией, которая размещена на странице «Основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений».
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными f(y)dy=g(x)dx
Уравнениями с разделенными переменными называют ДУ вида f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, переменные, входящие в состав выражения, находятся по обе стороны от знака равенства.
Договоримся, что функции f(y) и g(x) мы будем считать непрерывными.
Для уравнений с разделенными переменными общий интеграл будет иметь вид ∫f(y)dy=∫g(x)dx. Общее решение ДУ в виде неявно заданной функции Ф(x, y)=0 мы можем получить при условии, что интегралы из приведенного равенства выражаются в элементарных функциях. В ряде случаев выразить функцию у получается и в явном виде.
Найдите общее решение дифференциального уравнения с разделенными переменными y23dy=sin xdx.
Решение
Проинтегрируем обе части равенства:
∫y23dy=∫sin xdx
Это, по сути, и есть общее решение данного ДУ. Фактически, мы свели задачу нахождения общего решения ДУ к задаче нахождения неопределенных интегралов.
Теперь мы можем использовать таблицу первообразных для того, чтобы взять интегралы, которые выражаются в элементарных функциях:
∫y23dy=35y53+C1∫sin xdx=-cosx+C2⇒∫y23dy=∫sin xdx⇔35y35+C1=-cosx+C2
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Функция 35y35+C1=-cosx+C2 задана неявно. Она является общим решением исходного дифференциального уравнения с разделенными переменными. Мы получили ответ и можем не продолжать решение. Однако в рассматриваемом примере искомую функцию можно выразить через аргумент х явно.
Получаем:
35y53+C1⇒y=(-53cosx+C)35, где C=53(C2-C1)
Общим решением данного ДУ является функция y=(-53cosx+C)35
Ответ:
Мы можем записать ответ несколькими способами: ∫y23dy=∫sinxdx или 35y53+C1=-cosx+C2, или y=(-53cosx+C)35
Всегда стоит давать понять преподавателю, что вы наряду с навыками решения дифференциальных уравнений также располагаете умением преобразовывать выражения и брать интегралы. Сделать это просто. Достаточно дать окончательный ответ в виде явной функции или неявно заданной функции Ф(x, y)=0.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx
y' в тех случаях, когда является функцией аргумента .
В ДУ или мы можем провести преобразования таким образом, чтобы разделить переменные. Этот вид ДУ носит название ДУ с разделяющимися переменными. Запись соответствующего ДУ с разделенными переменными будет иметь вид .
Разделяя переменные, необходимо проводить все преобразования внимательно для того, чтобы избежать ошибок. Полученное и исходное уравнения должны быть эквивалентны друг другу. В качестве проверки можно использовать условие, по которому и не должны обращаться в ноль на интервале интегрирования. Если это условие не выполняется, то есть вероятность, что ы потеряем часть решений.
Найти все решения дифференциального уравнения .
Решение
Мы можем разделить и , следовательно, мы имеем дело с ДУ с разделяющимися переменными.
При исходное уравнение обращается в тождество: . Это позволят нам утверждать, что является решением ДУ. Это решение мы могли не учесть при проведении преобразований.
Выполним интегрирование ДУ с разделенными переменными :
Проводя преобразование, мы выполнили замену на . Решение ДУ имеет вид неявно заданной функции . Эту функцию мы в состоянии выразить явно. Для этого проведем потенцирование полученного равенства:
Ответ:
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными , ,
Для того, чтобы привести обыкновенное ДУ -го порядка , , , к уравнению с разделяющимися переменными, необходимо ввести новую переменную , где представляет собой функцию аргумента .
Получаем:
Проводим подстановку и необходимые преобразования:
Найдите общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Решение
Введем переменную , получаем:
Результат, который мы получили, подставляем в исходное выражение, проводим преобразование его в ДУ с разделяющимися переменными:
Проинтегрируем обе части уравнения после разделения переменных:
Применим метод интегрирования по частям для нахождения интеграла, расположенного в левой части записи уравнения. Интеграл правой части посмотрим в таблице.
Мы можем утверждать, что . Теперь, если мы примем, что и проведем обратную замену , то получим общее решение дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции:
Теперь примемся за нахождение частного решения, которое должно удовлетворять начальному условию . Проведем подстановку и в общее решение ДУ и найдем значение константы .
Получаем частное решение:
Так как в условии задачи не был задан интервал, на котором необходимо найти общее решение ДУ, то мы ищем такое решение, которое подходит для всех значений аргумента , при которых исходное ДУ имеет смысл.
В нашем случае ДУ имеет смысл при
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или
Мы можем свести ДУ вида или к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными путем выполнения замены или , где – функция аргумента .
Если , то и по правилу дифференцирования дроби:
В этом случае уравнения примут вид или
Если принять , то и по правилу производной произведения . В этом случае уравнения сведутся к или .
Решите дифференциальное уравнение
Решение
Примем , тогда . Подставим в исходное уравнение:
Проведем интегрирование уравнения с разделенными переменными, которое мы получили при проведении преобразований:
Выполним обратную замену для того, чтобы получить общее решение исходного ДУ в виде функции, заданной неявно:
А теперь остановимся на ДУ, которые имеют вид:
Разделив числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи, на или , мы можем привести исходное ДУ в виду или
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение
В этом уравнении и отличны от . Это позволяет нам разделить числитель и знаменатель дроби, расположенной в правой части записи на :
Если мы введем новую переменную , то получим .
Теперь нам необходимо осуществить подстановку в исходное уравнение:
Так мы пришли к ДУ с разделенными переменными. Найдем его решение:
Для этого уравнения мы можем получить решение в явном виде. Для этого примем и применим свойства логарифма:
Теперь выполним обратную замену и запишем общее решение исходного ДУ:
В даном случае правильным будет и второй вариант решения. Мы можем использовать замену Рассмотрим этот вариант более подробно.
Выполним деление числителя и знаменателя дроби, расположенной в правой части записи уравнения на :
Пусть
Тогда
Проведем подстановку в исходное уравнение для того, чтобы получить ДУ с разделяющимися переменными:
Разделив переменные, мы получаем равенство , которое можем проинтегрировать:
Если мы разложим подынтегральную функцию интеграла на простейшие дроби, то получим:
Выполним интегрирование простейших дробей:
Теперь найдем интеграл :
В итоге получаем или , где .
Выполним обратную замену и необходимые преобразования, получим:
Вариант решения, при котором мы выполняли замену , оказался более трудоемким, чем в случае замены . Этот вывод будет справедлив для большого количества уравнений вида или . Если выбранный вариант решения подобных уравнений оказывается трудоемким, можно вместо замены ввести переменную . На результат это никак не повлияет.
Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными
Дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям или , следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится - решение системы двух линейных однородных уравнений и вводятся новые переменные . После такой замены уравнение примет вид .
Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение
Составляем и решаем систему линейных уравнений:
Делаем замену переменных:
После подстановки в исходное уравнение получаем . После деления на числителя и знаменателя правой части имеем .
Вводим новую переменную , тогда
Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену :
Это есть общее решение дифференциального уравнения.
Сохранить статью удобным способом