Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами

Ниже разберем способы, как решить линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения порядка выше второго, имеющих постоянные коэффициенты. Подобные уравнения представлены записями $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=0$ и $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=f\left(x\right)$, в которых $f_0, f_1,..., f_{n-1}$ - являются действительными числами, а функция $f\left(x\right)$ является непрерывной на интервале интегрирования $X$.

Оговоримся, что аналитическое решение подобных уравнений иногда неосуществимо, тогда используются приближенные методы. Но, конечно, некоторые случаи дают возможность определить общее решение.

Общее решение ЛОДУ и ЛДНУ

Мы зададим формулировку двух теорем, показывающих, какого вида общих решений ЛОДУ и ЛНДУ $n$-ого порядка следует искать.

Итак, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, содержащего постоянные коэффициенты $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=f\left(x\right)$, нужно искать, как $y=y_0+\tilde{y}$, где $\tilde{y}$ - некоторое его частное решение, а $y_0=\sum _{j=1}^n{C}_j·y_j$ – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=0$.

В первую очередь рассмотрим, как осуществлять нахождение $y_0=\sum _{j=1}^n{C}_j·y_j$ - общее решение ЛОДУ $n$-ого порядка с постоянными коэффициентами, а потом научимся определять частное решение $\tilde{y}$ линейного неоднородного дифференциального уравнения $n$-ого порядка при постоянных коэффициентах.

Возможно определить $n$ частных линейно независимых решений $y_1, y_2,..., y_n$ исходного ЛОДУ, исходя из значений найденных $n$ корней характеристического уравнения $k_1, k_2,..., k_n$.

Методы решения ЛОДУ и ЛНДУ

Укажем все существующие варианты и приведем примеры на каждый.

1. Когда все решения $k_1, k_2,..., k_n$ характеристического уравнения $k^n+f_{n-1}·k^{n-1}+...+f_1·k+f_0=0$ действительны и различны, линейно независимые частные решения будут выглядеть так:
   $y_1=e^{k_1·x}, y_2=e^{k_2·x},..., y_n=e^{k_n·x}$. Общее же решение ЛОДУ $n$-ого порядка при постоянных коэффициентах запишем как: $y_0=C_1·e^{k_1·x}+C_2·e^{k_2·x}+...+C_n·e^{k_n·x}$.

2. Когда решения характеристического уравнения являются действительными и одинаковыми $( k_1=k_2=...=k_n=k_0)$, линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения $n$-ого порядка с постоянными коэффициентами буду иметь вид: $y_1=e^{k_0·x}, y_2=x·e^{k_0·x},..., y_n=x^{n-1}·e^{k_0·x}$.

Общее же решение ЛОДУ будет выглядеть так:
 $$\begin{gathered} y_0=C_1·e^{k_0·x}+C_2·e^{k_0·x}+...+C_n·x^{n-1}·e^{k_0·x}= \\ =e^{k_0·x}·\left(C_1+C_2·x+...+C_n·x^{n-1}\right) \end{gathered}$$

3. Когда решения характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения $n$-ого порядка при постоянных коэффициентах -  различные комплексно сопряженные пары ${\alpha }_1\pm i·{\beta }_1, {\alpha }_2\pm i·{\beta }_2,..., {\alpha }_m\pm i·{\beta }_m$, $n=2m$, линейно независимые частные решения такого ЛОДУ будут иметь вид:
   $$\begin{gathered} y_1=e^{{\alpha }_{1}x}·\cos {\beta }_{1}x, y_2=e^{{\alpha }_{1}x}·\sin {\beta }_{1}x, \\ {y}_3=e^{{\alpha }_{2}x}·\cos {\beta }_{2}x, y_4=e^{{\alpha }_{2}x}·\sin {\beta }_{2}x, \\ \dots \\ {y}_{n-1}=e^{{\alpha }_{m}x}·\cos {\beta }_{m}x, y_n=e^{{\alpha }_{m}x}·\sin {\beta }_{m}x \end{gathered}$$

Общее же решение запишем так:

$$\begin{gathered} y_0=e^{{\alpha }_{1}x}·\left(C_1·\cos {\beta }_{1}x+C_2·\sin {\beta }_{1}x\right)+ \\ +e^{{\alpha }_{2}x}·\left(C_3·\cos {\beta }_{2}x+C_4·\sin {\beta }_{2}x\right)+...+ \\ +e^{{\alpha }_{m}x}·\left(C_{n-1}·\cos {\beta }_{m}x+C_n·\sin {\beta }_{m}x\right) \end{gathered}$$

4. Когда решения характеристического уравнения - это совпадающие комплексно сопряженные пары $\alpha \pm i·\beta$,  линейно независимыми частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами будут записи:
   $$\begin{gathered} y_1=e^{\alpha ·x}·\cos \beta x, y_2=e^{\alpha ·x}·\sin \beta x, \\ {y}_3=e^{\alpha ·x}·x·\cos \beta x, y_4=e^{\alpha ·x}·x·\sin \beta x, \\ \dots \\ {y}_{n-1}=e^{\alpha ·x}·x^{m-1}·\cos \beta x, y_n=e^{\alpha ·x}·x^{m-1}·\sin \beta x \end{gathered}$$

Общим решением ЛОДУ будет:

$$\begin{gathered} y_0=e^{\alpha ·x}·\left(C_1·\cos \beta x+C_2·\sin \beta x\right)+ \\ +e^{\alpha ·x}·x·\left(C_4·\cos \beta x+C_3·\sin \beta x\right)+...+ \\ +e^{\alpha ·x}·x^{m-1}·\left(C_{n-1}·\cos \beta x+C_n·\sin \beta x\right)= \\ =e^{\alpha ·x}·\cos \beta x·\left(C_1+C_3·x+...+C_{n-1}·x^{m-1}\right)+ \\ +e^{\alpha ·x}·\sin \beta x·\left(C_2+C_4·x+...+C_n·x^{m-1}\right) \end{gathered}$$

5. Встречаются различные комбинации указанных случаев: некоторые корни характеристического уравнения ЛОДУ $n$-ого порядка с постоянными коэффициентами являются действительными и различными, некоторые - действительными и совпадающими, а какие-то - комплексно сопряженными парами или совпадающими комплексно сопряженными парами.

Таким образом, мы рассмотрели основные случаи, когда возможно определить $y_0$ - общее решение ЛОДУ $n$-ого порядка с постоянными коэффициентами.

Следующее, что мы разберем – это ответ на вопрос, как решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение $n$-ого порядка с постоянными коэффициентами записи $y^{\left(n\right)}+f_{n-1}·y^{(n-1)}+...+f_1·y\text{'}+f_0·y=f\left(x\right)$.

Общее решение в таком случае составляется как сумма общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного ЛНДУ: $y=y_0+\tilde{y}$. Поскольку мы уже умеем определять $y_0$, остается разобраться с нахождением $\tilde{y}$, т.е. частного решения ЛНДУ порядка $n$ с постоянными коэффициентами.

Приведем все способы нахождения $\tilde{y}$ согласно тому, какой вид имеет функция$f\left(x\right)$, находящаяся в правой части рассматриваемого ЛНДУ.

1. Когда $f\left(x\right)$ представлена в виде многочлена $n$-ой степени $f\left(x\right) = P_n\left(x\right)$, частным решением ЛНДУ станет: $\tilde{y}=Q_n\left(x\right)·x^{\gamma }$. Здесь $Q_n\left(x\right)$ является многочленом степени $n$, а $r$ – указывает, сколько корней характеристического уравнения равно нулю.
2. Когда функция$f\left(x\right)$ представлена в виде произведения многочлена степени $n$ и экспоненты $f\left(x\right)=P_n\left(x\right)·e^{\alpha ·x}$, частным решением ЛНДУ второго порядка станет: $\tilde{y}=e^{\alpha ·x}·Q_n\left(x\right)·x^{\gamma }$. Здесь $Q_n\left(x\right)$ является многочленом $n$-ой степени, $r$ указывает, сколько корней характеристического уравнения равно $\alpha$.
3. Когда функция$f\left(x\right)$ записана как $f\left(x\right)=A_1\cos \left(\beta x\right)+B_1\sin \left(\beta x\right)$, где ${А}_1$ и ${В}_1$ – числа, частным решением ЛНДУ станет запись $\tilde{y}=\left(A\cos \left(\beta x\right)+B\sin \left(\beta x\right)\right)·x^{\gamma }$. Здесь где $А$ и $В$ являются неопределенными коэффициентами, $r$ – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно $\pm i\beta$.
4. Когда $f\left(x\right)=e^{\alpha x}·\left(P_n\left(x\right)\sin \left(\beta x\right)+Q_k\left(x\right)\cos \left(\beta x\right)\right)$, то $\tilde{y}=e^{\alpha x}·\left(L_m\left(x\right)\sin \left(\beta x\right)+N_m\left(x\right)\cos \left(\beta x\right)\right)·x^{\gamma }$, где $r$ – указывает, сколько комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения равно $\alpha \pm i\beta$, $P_n\left(x\right), Q_k\left(x\right), L_m\left(x\right)$ и $N_m\left(x\right)$ являются многочленами степени $n, k, m$ и $m$ соответственно, $m=max(n,k)$.

Коэффициенты, которые неизвестны, определяются из равенства ${\tilde{y}}^{\left(n\right)}+f_{n-1}·{\tilde{y}}^{(n-1)}+...+f_1{\tilde{y}}^{\text{'}}+f_0·\tilde{y}=f\left(x\right)$

Подробности нахождения решений уравнений в каждом из указанных случаев можно изучить в статье линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, поскольку схемы решения ЛНДУ степени выше второй полностью совпадают.

Когда функция $f\left(x\right)$ имеет любой иной вид, общее решение ЛНДУ возможно определить, используя метод вариации произвольных постоянных. Его разберем подробнее.

Пусть нам заданы $y_j, j=1,2,..., n$ - $n$ линейно независимые частные решения соответствующего ЛОДУ, тогда, используя различные вариации произвольных постоянных, общим решением ЛНДУ
$n$-ого порядка с постоянными коэффициентами будет запись: $н=\sum _{j=1}^n{C}_j\left(x\right)·y_j$. В нахождении производных функций $C_j\left(x\right), j=1, 2,..., n$ поможет система уравнений:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\sum _{j=1}^n{C}_j\text{'}\left(x\right)·y_j=0 \\ \sum _{j=1}^n{C}_j\text{'}\left(x\right)·y{\text{'}}_j=0\\ \sum _{j=1}^n{C}_j\text{'}\left(x\right)·y{\text{'}\text{'}}_j=0 \\ \dots \\ \sum _{j=1}^n{C}_j\text{'}\left(x\right)·y_j^{(n-2)}=0 \\ \sum _{j=1}^n{C}_j\text{'}\left(x\right)·y_j^{(n-1)}=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

а собственно функции $C_j\left(x\right), j=1, 2,..., n$ найдем при последующем интегрировании.

Разберем пример.