Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Содержание:

05 декабря 2023
5 минут
230

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Оговорим сразу тот факт, что нахождение решения общего аналитического вида для линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков зачастую невозможно. В основном пользуются приближенными методами решения.

Материал данной статьи представлен базовой теоретической информацией на тему решения ЛОДУ
$n$ -ого порядка записи $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = 0$ и ЛНДУ $n$ -ого порядка записи $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$ .

Сначала поговорим о линейных однородных дифференциальных уравнениях $n$ -ого порядка, а затем займемся неоднородными ДУ.

Линейные однородные дифференциальные уравнения

Теорема 1

Общее решение для линейного однородного дифференциального уравнения $n$ -ого порядка $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = 0$ при непрерывных на интервале интегрирования
$X$ коэффициентах $f_{0} (x), f_{1} (x), . . ., f_{n - 1} (x)$ определяет линейная комбинация $y_{0} = \sum_{j = 1}^{n} C_{j} \cdot y_{j}$ , в которой $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ на $X$ , а $C_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ являются произвольными постоянными.

Когда тождество $a_{1} \cdot y_{1} + a_{2} \cdot y_{2} + . . . + a_{n} \cdot y_{n} \equiv 0$ верно только при нулевых коэффициентах $a_{1} = a_{2} = . . . = a_{n} = 0$ , функции $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ являются линейно независимыми на неком интервале $X$ .

Для линейно независимых функций $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ определитель Вронского при любых
$x$ из $X$ отличен от нуля:

$W (x) = |\begin{matrix} y_{1} & y_{2} & \dots & y_{n} \\ y'_{1} & y'_{2} & \dots & y'_{n} \\ y {''}_{1} & y {''}_{2} & \dots & y {''}_{n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ y_{1}^{(n - 1)} & y_{2}^{(n - 1)} & \dots & y_{n}^{(n - 1)} \end{matrix}| \neq 0$

Тот факт, что определитель Вронского не равен нулю, возможно применять в качестве критерия линейной независимости функций на интервале.

Каким же образом определяются $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения $n$ -ого порядка?

В большинстве случаев данные функции возможно подобрать, используя стандартные системы линейно независимых функций:

$1) 1, x, x^{2}, . . ., x^{n} 2) e^{k_{1} \cdot x}, e^{k_{2} \cdot x}, . . ., e^{k_{n} \cdot x} 3) e^{k_{1} \cdot x}, x \cdot e^{k_{1} \cdot x}, . . ., x^{n_{1}} \cdot e^{k_{1} \cdot x}, e^{k_{2} \cdot x}, x \cdot e^{k_{2} \cdot x}, . . ., x^{n_{2}} \cdot e^{k_{2} \cdot x}, . . . e^{k_{p} \cdot x}, x \cdot e^{k_{p} \cdot x}, . . ., x^{n_{p}} \cdot e^{k_{p} \cdot x}$

Когда подобраны все $n$ линейно независимые частные решения $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ , возможно составить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения $n$ -ого порядка $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = 0$ - оно будет иметь запись $y_{0} = \sum_{j = 1}^{n} C_{j} \cdot y_{j}$ . Когда подобраны только несколько линейно независимых частных решений, мы можем понизить степень заданного уравнения при помощи замены. Детально этот пункт мы не будем рассматривать, в случае необходимости следует изучить дополнительные материалы по теме.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

Приступим к рассмотрению линейных неоднородных дифференциальных уравнений $n$ -ого порядка записи $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$ .

Теорема 2

Общее решение на интервале $X$ линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка $n$ записи $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$ при непрерывных на интервале интегрирования $X$ коэффициентах $f_{0} (x), f_{1} (x), . . ., f_{n - 1} (x)$ и непрерывной функции $f (x)$ определяется как сумма общего решения $y_{0}$ соответствующего ЛОДУ и некоторого частного решения $\tilde{y}$ заданного неоднородного уравнения: $y = y_{0} + \tilde{y}$ .

Нахождение $y_{0}$ - общего решения соответствующего ЛОДУ $n$ -ого порядка - было рассмотрено выше. Остается разобрать, как находится $\tilde{y}$ - частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения $n$ -ого порядка.

Иногда некое частное решение $\tilde{y}$ бывает достаточно явным, то есть его возможно подобрать. Когда
$\tilde{y}$ подобрать затруднительно, при этом определены $n$ линейно независимых частных решений $y_{j}, j = 1, 2, . . ., n$ соответствующего ЛОДУ, общее решение исходного ЛНДУ $n$ -ого порядка возможно определить при помощи метода вариации произвольных постоянных.

В таком случае общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения $y^{(n)} + f_{(n - 1)} (x) \cdot y^{(n - 1)} + . . . + f_{0} (x) \cdot y = f (x)$ определяется как $y = \sum_{j = 1}^{n} C_{j} (x) \cdot y_{j}$ , а функции $C_{1} (x), C_{2} (x), \dots, C_{n} (x)$ находятся интегрированием после решения системы уравнений:

$\{\begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} C_{j}' (x) \cdot y_{j} = 0 \\ \sum_{j = 1}^{n} C_{j}' (x) \cdot y'_{j} = 0 \sum_{j = 1}^{n} C_{j}' (x) \cdot y {''}_{j} = 0 \dots \sum_{j = 1}^{n} C_{j}' (x) \cdot y_{j}^{(n - 2)} = 0 \sum_{j = 1}^{n} C_{j}' (x) \cdot y_{j}^{(n - 1)} = 0 \end{cases}$