Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка
- 30 сентября 2023
- 7 минут
- 2 030
В данной теме поговорим о способах решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений вида . Начнем с метода вариации произвольной постоянной и покажем способ применения этого метода для решения задачи Коши. Продолжим рассмотрением метода, который предполагает представление произвольной постоянной у как произведения двух функций и . В разделе мы приводим большое количество задач по теме с детальным разбором решения.
На тот случай, если применяемые при разборе темы термины и понятия окажутся незнакомыми для вас, мы рекомендуем заглядывать в раздел «Основные термины и определения теории дифференциальных уравнений».
Метод вариации произвольной постоянной для решения ЛНДУ первого порядка
Для краткости будет обозначать линейное неоднородное дифференциальное уравнение аббревиатурой ЛНДУ, а линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ).
ЛНДУ вида соответствует ЛОДУ вида , при . Если посмотреть на дифференциальное уравнение , становится понятно, что мы имеем дело с уравнением с разделяющимися переменными. Мы можем его проинтегрировать:
Мы можем утверждать, что значение переменной тоже является решением, так как при этом значении переменной уравнение обращается в тождество. Этому случаю соответствует решение при значении .
Получается, что - общее решение ЛОДУ, где – произвольная постоянная.
- это решение ЛОДУ .
Для того, чтобы найти общее решение неоднородного уравнения , будем считать не константой, а функцией аргумента . Фактически, мы примем общим решением ЛНДУ.
Подставим в дифференциальное уравнение . Оно при этом обращается в тождество:
Теперь обратимся к правилу дифференцирования произведения. Получаем:
Производная сложной функции равна .
Теперь вспомним свойства неопределенного интеграла. Получаем:
Теперь выполним переход:
Так мы пришли к простейшему дифференциальному уравнению первого порядка. В ходе решения этого уравнения мы определим функцию . Это позволит нам записать решение исходного ЛНДУ первого порядка следующим образом:
Подведем итог
Метод вариации произвольной постоянной при решении ЛНДУ предполагает проведение трех этапов:
- нахождение общего решения соответствующего ЛОДУ в виде ;
- варьирование произвольной постоянной , что заключается в замене ее функцией ;
- подстановка функции в исходное дифференциальное уравнение, откуда мы можем вычислить и записать ответ.
Теперь применим этот алгоритм к решению задачи.
Найдите решение задачи Коши , .
Решение
Нам нужно отыскать частное решение ЛНДУ при начальном условии .
В нашем примере и . Начнем с того, что найдем общее решение ЛОДУ. После этого применим метод вариации произвольной постоянной и определим общее решение ЛНДУ. Это позволит нам найти искомое частное решение.
Общим решением соответствующего ЛОДУ будет семейство функций , где – произвольная постоянная.
Варьируем произвольную постоянную и подставляем эту функцию в исходное уравнение:
откуда , где – произвольная постоянная.
Это значит, что - общее решение неоднородного уравнения.
Теперь приступим к отысканию частного решения, которое будет удовлетворять начальному условию .
Так как , то . Обратившись к начальному условию, получаем уравнение , откуда . Следовательно, искомое решение задачи Коши имеет вид
Теперь рассмотрим еще один метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений .
Еще один метод решения ЛНДУ первого порядка
Мы можем представить неизвестную функцию как произведение , где и – функции аргумента .
Мы можем подставить эту функцию в ЛНДУ первого порядка. Имеем:
Если найти такое , чтобы оно было ненулевым частным решением дифференциального уравнения , то можно будет определить из уравнения с разделяющимися переменными .
Рассмотрим этот алгоритм решения на предыдущем примере. Это позволит нам сосредоточиться на главном, не отвлекаясь на второстепенные детали.
Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения .
Решение
Пусть , тогда
Находим такое , отличное от нуля, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль. Иными словами, находим частное решение дифференциального уравнения .
Возьмем частное решение , соответствующее .
Для этого частного решения имеем
Следовательно, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения есть
Ответы в обоих случаях совпадают. Это значит, что оба метода решения, которые мы привели в статье, равнозначны. Выбирать, какой из них применить для решения задачи, вам.