Системы дифференциальных уравнений

Найдите общее решение системы дифференциальных уравнений $\left\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=x-1\\ \frac{dy}{dt}=x+2y-3\end{array}\right.$

Решение

Поиск начнем с первого уравнения системы линейных дифференциальных уравнений. Разрешим его относительно $x$:

$x=\frac{dy}{dt}-2y+3$

Теперь выполним дифференцирование $2$-го уравнения системы оду, после чего разрешим его относительно $\frac{dx}{dt}$: $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{dx}{dt}+2\frac{dy}{dt}\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2\frac{dy}{dt}$

Полученный в ходе вычислений результат мы можем подставить в $1$-е уравнение дифсистемы:

$$\begin{gathered} \frac{dx}{dt}=x-1 \\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}-2\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dt}-2y+3-1 \\ \frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}+2y=2 \end{gathered}$$

В результате преобразований мы получили линейное неоднородное диф-е уравнение $2$-го порядка с постоянными коэффициентами $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}+2y=2$ (линеаризация дифференциальных уравнений, линеаризованное уравнение). Если мы найдем его общее решение, то получим функцию $y\left(t\right)$.

Общее решение соответствующего ЛОДУ $y_0$ мы можем найти общее решение системы дифференциальных уравнений путем вычислений корней характеристического уравнения $k^2-3k+2=0$:

$$\begin{gathered} D=3^2-4·2=1 \\ {k}_1=\frac{3-1}{2}=1 \\ {k}_2=\frac{3+1}{2}=2 \end{gathered}$$

Корни, которые мы получили, являются действительными и различными. В связи с этим общее решение ЛОДУ будет иметь вид $y_0=C_1·e^t+C_2·e^{2t}$.

Теперь нам нужно находить частное решение линейного неоднородного ДУ $\tilde{y}$:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}+2y=2$

Правая часть записи уравнения представляет собой многочлен нулевой степени. Это значит, что частное решение будем искать в виде $\tilde{y}=A$, где $А$ – это неопределенный коэффициент.

Определить неопределенный коэффициент мы можем из равенства $\frac{d^2\tilde{y}}{d{t}^2}-3\frac{d\tilde{y}}{dt}+2\tilde{y}=2$:
$$\begin{gathered} \frac{d^2\left(A\right)}{d{t}^2}-3\frac{d\left(A\right)}{dt}+2A=2\Rightarrow \\ 2A=2\Rightarrow A=1 \end{gathered}$$

Таким образом, $\tilde{y}=1$ и $y\left(t\right)=y_0+\tilde{y}=C_1·e^t+C_2·e^{2t}+1$. Одну неизвестную функцию мы нашли.

Теперь подставим найденную функцию во $2$-е уравнение системы ДУ и разрешим новое уравнение относительно $x\left(t\right)$:
$$\begin{gathered} \frac{d(C_1·e^t+C_2·e^{2t}+1)}{dt}=x+2·(C_1·e^t+C_2·e^{2t}+1)-3 \\ {C}_1·e^t+2C_2·e^{2t}=x+2C_1·e^t+2C_2·e^{2t}-1 \\ x=-C_1·e^t+1 \end{gathered}$$

Так мы вычислили вторую неизвестную функцию $x\left(t\right)=-C_1·e^t+1$.

Ответ: $\left\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=-C_1·e^t+1\\ y\left(t\right)=C_1·e^t+C_2·e^{2t}+1\end{array}\right.$